【摘 要】
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本文主要研究分数阶Schr（?）dinger算子的散射问题及相关的谱分析.我们首先对分数阶Schr（?）dinger算子提出一类临界的短程位势,继而证明波算子的存在性,再对这类位势的分数阶Schr（?）dinger算子进行细致的谱分析并证明波算子的渐近完备性.最后我们考虑高阶Schr（?）dinger算子在另一类短程位势下的散射问题.本文总共由五章构成.第一章首先介绍了Schr（?）dinger算
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本文主要研究分数阶Schr（?）dinger算子的散射问题及相关的谱分析.我们首先对分数阶Schr（?）dinger算子提出一类临界的短程位势,继而证明波算子的存在性,再对这类位势的分数阶Schr（?）dinger算子进行细致的谱分析并证明波算子的渐近完备性.最后我们考虑高阶Schr（?）dinger算子在另一类短程位势下的散射问题.本文总共由五章构成.第一章首先介绍了Schr（?）dinger算子的物理背景,Schr（?）dinger算子的发展历史及其一般研究领域,以及Schr（?）dinger算子的散射理论一般的研究方法及发展历史,还有与散射理论相关的谱分析,最后我们给出了本文的主要研究内容.第二章考虑分数阶Schr（?）dinger算子（-Δ）s/2+V（x）的散射理论.对于Schr（?）dinger算子的散射理论,人们通常只研究二阶即通常物理背景的情形,而高阶或者分数阶情形的结果并不是很多,也不完整,原因在于传统的散射理论研究方法要求太强.我们的方法是通过在更恰当的L~2稠子空间上给出位势V（x）的定义,建立其充分必要条件,并给出具体的位势例子,最后使用Cook方法去直接计算分数阶Schr（?）dinger算子的波算子的存在性.第三章继续研究分数阶Schr（?）dinger算子（-Δ）s/2+V（x）的散射理论.在我们已经得到其波算子的存在性的前提下,对该位势条件下的分数阶Schr（?）dinger算子的谱进行一个较为细致地分析,最后得到波算子的渐近完备性.这类问题在二阶,高阶情形有非常详细的研究,而在分数阶情形往往因为方法的不足而得不到“好”的结果.我们首先利用类似H（?）rmander的方法去建立自由预解式一致估计并得到加权版本的自由预解式一致估计,再利用我们定义的位势的特殊性我们得到了分数阶Schr（?）dinger算子（-Δ）s/2+V（x）的特征值及特征函数的相关性质.在此基础之上,我们利用“变形”Fourier变换得到了波算子的渐近完备性.由于我们对（-Δ）s/2特征方程的合理解释,前面得到的特征值及特征函数的相关性质只是部分的,最后我们说明了这也是整体的.第四章考虑高阶Schr（?）dinger算子（-Δ）m+V（x,D）的散射理论.我们基于Kato光滑理论方法,完整地证明了Agmon-Kato-Kuroda型的定理.首先我们利用Stein-Tomas限制性定理建立一类合适的L~2稠子空间,并注意到二阶情形与高阶情形的关联,由二阶情形的特殊性给出高阶情形的自由预解式及加权自由预解式估计,然后我们利用Kato光滑理论给出位势的定义,并给出具体的位势例子.为了我们的最终结果,我们给出了一些位势的引理,并建立极限吸收原理,最后证明了波算子的存在性与渐近完备性及相关的谱性质.第五章对前文三个方面作进一步的思考.
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