【摘 要】
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本博士学位论文主要讨论了涉及偏微分方程广义解正则性的六个问题:一是非散度型线性椭圆方程强解的Lorentz正则性和Orlicz正则性;二是非散度型线性抛物方程强解的Lp（x,t）正则性;三是完全非线性椭圆方程粘性解的Lorentz和Lorentz-Morrey正则性;四是完全非线性抛物方程强解的Lorentz正则性;五是渐近正则的完全非线性抛物方程强解的Lorentz正则性;六是散度型线性抛物方程
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本博士学位论文主要讨论了涉及偏微分方程广义解正则性的六个问题:一是非散度型线性椭圆方程强解的Lorentz正则性和Orlicz正则性;二是非散度型线性抛物方程强解的Lp（x,t）正则性;三是完全非线性椭圆方程粘性解的Lorentz和Lorentz-Morrey正则性;四是完全非线性抛物方程强解的Lorentz正则性;五是渐近正则的完全非线性抛物方程强解的Lorentz正则性;六是散度型线性抛物方程弱解的Holder连续性.具体内容如下:第1章与第2章分别主要介绍了本文的选题背景、国内外研究现状以及本文所用到的一些空间的基本概念和基本性质,第3章证明了当系数aij（x）满足一致椭圆条件和小的部分BMO条件时,非散度型线性椭圆方程aij（x）Diju=f（x）的强解具有内部加权Lorentz正则性和内部Orlictz正则性.主要思想基于经典的“扰动”方法、推广的Vitali覆盖引理,Hardy-Littlewood极大算子的Lorentz有界性和Orlicz有界性,以及Lorentz范数和Orlicz范数的等价水平集测度表示形式.第4章利用大M不等式原理证明了非散度型线性抛物方程ut-aij（x,t）Diju=f（x,t）的强解具有内部Lp（x,t）正则性.这里,我们假设系数aij（x,t）满足一致抛物条件和小的部分BMO条件,以及变指标p（x,t）满足log-Holder连续性条件.此外,我们还论证了该结果对非散度型线性椭圆方程aij（x）Diju=f（x）也成立.第5章研究了完全非线性椭圆方程F（D2u,x）=f（x）在有界C1.1区域上Dirichlet问题的粘性解.当F（M,x）关于M是凸的且满足一致椭圆条件和（δ,R）-消失条件时,基于Caffarelli内部W2.p（1<p<∞）估计和Winter边界W2.p（1<p<∞）估计,我们用粘性方法和有限覆盖定理证明了粘性解具有全局加权Lorentz正则性,并且通过选取恰当的权函数进一步证明了粘性解的 Lorentz-Morrey 正则性.第6章研究了完全非线性抛物方程ut,+F（D2u,x,t）=f（x,t）在有界C1,1区域上Cauchy-Dirichlet问题的强解.当F（M,x,t）是M的一次齐次凸函数且满足一致抛物条件和（δ,R）-消失条件时,我们用大M不等式原理证明了强解具有全局Lorentz正则性,并且此结论对椭圆情形也成立.第7章主要讨论了渐近正则的完全非线性抛物方程ut（x,t）+F（D2u,x,t）=f（x,t）在有界C1,1区域上Cauchy-Dirichlet问题的强解.我们先定义一个恰当的Poisson公式将该渐近正则方程转化为满足第6章中假设条件的完全非线性抛物方程,然后基于第6章的结果推导出该渐近正则方程的强解具有全局Lorentz正则性,最后论证了此结果对椭圆情形也成立.第8章研究了系数与时间变量无关且满足VMO条件的散度型线性抛物方程的弱解在Ho1der连续性空间的局部正则性.我们的方法是利用Green函数的自然增长性质,hole-filling技巧先证明方程弱解的局部Morrey正则性,再利用Morrey引理进一步证明我们想要的结果.
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