量子相变是凝聚态物理学研究的一项重要内容。在绝对零温下受外界驱动的影响,物理系统的基态在相变点时会发生剧烈的变化,人们通常采用基于序参量和长程关联的Ginzburg-Landau对称缺破理论来描述相变。近年来,研究相变的新视角相继被提出,比如:拓扑序参量、量子纠缠、几何相位、基态保真率等。当物理系统在参数空间沿着闭合回路做绝热演化时,除了动力相位外,其波函数还会积累几何相位。几何相位能够反映波函数的拓扑性质,其对外界驱动参数的一阶导数在发生相变时由于能隙闭合而出现发散,在相变点附近具有普适的临界行为。保真率表示波函数随驱动参数的变化快慢,处于不同相的基态波函数具有很大差异,所以保真率在发生相变时也会发散,也表现出一定的临界行为。在以前的研究中,人们是通过数值方法拟合得到几何相位和保真率的发散行为,我们发现可以通过奇异函数展开方法精确地确定出它们的临界行为。这些精确结果极大地丰富了我们对几何相位、保真率及其在确定量子相变中所起作用的理解。玻色-爱因斯坦凝聚是量子统计力学中的经典范例,在理解液氦超流和BCS超导理论中起着重要作用。玻色-爱因斯坦凝聚现象在冷原子气体中的实现开启了研究简并量子气体的热潮,冷原子系统具有非常好的灵活性和可操控性,原子间的相互作用也可通过Feshbach共振来调节。人造规范场在冷原子系统中的实现为研究量子Hall效应、拓扑绝缘体、拓扑超导体开辟了新的途径。特别地,自旋轨道耦合在玻色子气体和费米气体中的实现为模拟电子的自旋轨道效应、探索拓扑量子相变、寻找新奇玻色-爱因斯坦凝聚提供坚实的现实基础。在2016年实现的二维自旋轨道耦合进一步促进了对奇异物态的探索研究。自旋轨道耦合能够改变单粒子的能级结构,使得单粒子的基态空间出现简并。在自由空间,二维自旋轨道耦合引起的简并空间是动量空间里的一个圆环,具有无穷简并。相互作用使得玻色子凝聚态为平面波或者驻波。我们通过研究具有层间隧穿和二维自旋耦合的两层玻色系统,发现了新的玻色-爱因斯坦凝聚机制,时间反演对称性和空间反演对称性在这里起到了重要作用。在文中我们介绍了两个一维自旋链模型的量子相变研究和简并环上玻色-爱因斯坦凝聚,具体的结果如下:·利用精确可解的XY模型阐述了奇异函数展开方法的思想,然后将这种方法应用到稍微复杂但仍然精确可解的扩展Ising模型中,得到了相变点附近几何相位和保真率的发散行为,深刻了解了它们和量子相变的关系。对于XY模型,我们精确求解出了几何相位和基态保真率在相变点随自旋链长度N的临界行为,以及它们在相变点附近的临界行为。其中,发散项的系数由能隙的闭合方式决定。另外,得到了这些系数、常数项具有的密切关系。对于扩展的Ising模型,当能隙不在特殊点闭合时,几何相位和基态保真率在相变点随自旋链长度N的临界行为会出现崩溃现象,但它们在相变点附近仍然有临界行为。这样,发散项系数、常数项间的密切关系将不再成立。·我们用了平均场理论来描述两层自旋轨道耦合玻色气体中的量子相变问题,通过虚时演化的数值方法和变分法得到了基态相图,分析了对称性对基态的重要影响。当单粒子基态简并空间为两个完全重合的圆环时,自旋与动量的互锁效应可以被破坏,即使在不同自旋的密度相互作用占据主导地位时,基态依然可以是具有一定极化的平面波,也可以是驻波,而在单层系统里基态只能是驻波态。另外,我们还发现了等权重的平面波态、完全极化的和等权重的零动量态。当单粒子基态简并空间为两个不重合的圆环时,如果这两个环靠得不近,我们发现了平面波态、驻波态、具有两个波矢或者四个波矢的条纹态;如果这两个圆环靠得很近,我们发现了激发态的玻色-爱因斯坦凝聚。