【摘 要】
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在经典的常微分方程的应用中,有一类重要的方程是研究弹簧受迫振动现象的,弹簧的外力是一个已知的函数.但在现实中,弹簧振动会受到空气或者材料摩擦等因素,外力往往存在一定的扰动.一些学者运用概率论中的Wiener过程去刻画扰动项,从而用随机弹簧振动方程描述弹簧的振动现象.但是用随机弹簧振动方程描述现实中的弹簧受迫振动现象真的合理吗?本文将给出随机弹簧振动方程的一个反例,说明用随机弹簧振动方程描述弹簧振动
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在经典的常微分方程的应用中,有一类重要的方程是研究弹簧受迫振动现象的,弹簧的外力是一个已知的函数.但在现实中,弹簧振动会受到空气或者材料摩擦等因素,外力往往存在一定的扰动.一些学者运用概率论中的Wiener过程去刻画扰动项,从而用随机弹簧振动方程描述弹簧的振动现象.但是用随机弹簧振动方程描述现实中的弹簧受迫振动现象真的合理吗?本文将给出随机弹簧振动方程的一个反例,说明用随机弹簧振动方程描述弹簧振动现象是不合理的,从而首次尝试运用不确定理论中的Liu过程刻画外力受到的扰动,并推导出不确定弹簧振动方程.本文得到了一类特殊的不确定弹簧振动方程的解析解,证明了一般情况下的不确定弹簧振动方程的解的存在唯一性定理,并提出了其依测度稳定、依均值稳定和依p阶矩稳定的概念,讨论几种稳定性之间的关系.但对大部分情况下的不确定弹簧振动方程,很难得到其解析解.为了得到这类不确定弹簧振动方程的数值解,本文将证明一个不确定弹簧振动方程的解可以表达成一族与之对应的弹簧振动方程的解,这就为求不确定弹簧振动方程的数值解提供了可能性.总体来说,本文的创新点主要有:·首次运用不确定微分方程研究弹簧振动现象,推导出了不确定弹簧振动方程.并得到了一类特殊的不确定弹簧振动方程的解析解;·对一般的不确定弹簧振动方程,证明了解的存在唯一性定理及几种稳定性定理;·证明了一个不确定弹簧振动方程的解可以表达成一族与之对应的弹簧振动方程的解,并给出不确定弹簧振动方程的解的逆不确定分布、期望值、极值、首达时和时间积分.另外,我们将给出求一般的不确定弹簧振动方程的解的逆不确定分布、期望值和极值的数值算法.
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