在设计计算相关领域,面对高昂的成本,漫长的试验周期,庞大的计算量,数值模拟技术的优势非常凸显。但是,在具体实施过程中也会面对各种问题。有限单元法(FEM)是现今广泛用于解决工程问题的方法,从需求角度出发,所面对的计算模型实际上就是某个工程或者物理问题。模型的结构、用以描述的方程、参数、边界条件都会实际情况而变化,进而带来了模型和边界条件的复杂性。在应用有限元法时往往出现规模过大情况,所以工程中常选用迭代法求解。但是由于刚度阵的病态问题导致迭代法难以收敛,因此需要构造新的算法能够对此适应。而且针对某种结构特殊功能的设计问题,如燃气轮机过渡段冷却性能的设计。需要考虑非常多的综合因素,这就需要引入不同的设计元素与概念,如何在引入多个相互耦合作用因素的情况下对该结构特殊性能进行设计,并且在各方案间寻优。这对于为了降低成本而采用的数值仿真方法来说很有研究价值。根据上面的问题,本文主要做了以下的工作：(1)本文简要的介绍了Krylov子空间法,共轭梯度法,至后来的预处理共轭梯度法。分析了采用传统共轭梯度法的弊端和采用预处理共轭梯度法的优势。分析了瞬态热传导问题,得出在划分时间步后,原问题可采用混合有限单元法对扩散问题进行离散,得到混合变分形式。(2)本文从瞬态热传导问题出发,考虑由材料参数等原因带来的含有多可变系数的微分方程问题。利用Domain decomposition method(DDM)区域分解方法构建预处理器,将其与预处理共轭梯度方法结合。首先,对基于重叠型区域分解的两水平重叠型Schwarz算法,在混合有限元离散后存在多系数且子域间系数不连续的情况下做出了推导。采用加性Schwarz算子Spa:=∑i=0NSpi,使用了一种能量范数最小的离散调和展开来定义粗空间。对原求解域进行分解,定义各个子域中的系数为常数,由于各种原因,导致某个子域内系数可能存在不同的大小关系,对这些关系进行分类讨论。最后推导出该算法的条件数仅与max1≤i≤N(1+log(Di/di))和max1≤i≤N(1+log(Di/δi))有关,与子域的个数无关,则在应用区域分解法时可根据实际情况划分多个子域,且子域自由度规模的增长对收敛性的影响较小。(3)区域分解法(DDM)普遍分为两种,即重叠型Schwarz算法和迭代子结构法。本文另一工作是,基于另一种区域分解,即分重叠型区域分解。分析了迭代子结构算法中的BDDC算法,采用了一种过度空间GΓ,将交界面上的元素分为连续的主变量GΠ和不连续的从变量GΔ。考虑子域间系数不连续,应用加权平均算子δi+(x)将交界面处两边值进行加权平均处理。之后应用算子RD,Γ和RΓ,将BDDC预条件表示为PB-1=RD,Γ～TSΓ～-1～RD,Γ,通过推导分析得出该方法的条件数上界为Cmax(1+log(Di/di))2该条件数上界只与子域内自由度个数的对数有关,同样的,子域自由度规模的增长对收敛性的影响较小。(4)简化过渡段为1/4圆柱的双腔模型,并外壁面的轴向设置一行冲击孔。选取高温,高压,冷却介质高流速作为其工况。选取冲击冷却结合喷雾冷却方法,针对冷却室中不同的扰流柱结构进行完整的单位数值模拟。对各种结果进行研究分析,证明了扰流柱能够提高冷却效率,且不会引起额外的压力损失。在冷却室中喷雾后,温度也可以下降。扰流柱方案参数和喷雾冷却的最优组合在不伴随额外的压降的条件下带来了最优的冷却效率。计算显示加权平均温度Tave降低了42.65K,这在对高温部件的冷却中是个相当大的值。