【摘 要】
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非线性偏微分方程(简写为PDE)精确解的求解及其解法的研究一直是热门课题.目前研究者已经提出和发展了许多求解非线性PDE精确解的方法.近几年,对于Lump解、反应解和呼吸解的研究引起了广泛的关注,特别是构造和求解高维方程的精确解已经成为研究非线性PDE的重点,也是难点.本文主要是基于Hirota双线性化方法,利用符号计算研究了若干高维非线性发展方程的Lump解、反应解和呼吸解.主要工作有:求解了(
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非线性偏微分方程(简写为PDE)精确解的求解及其解法的研究一直是热门课题.目前研究者已经提出和发展了许多求解非线性PDE精确解的方法.近几年,对于Lump解、反应解和呼吸解的研究引起了广泛的关注,特别是构造和求解高维方程的精确解已经成为研究非线性PDE的重点,也是难点.本文主要是基于Hirota双线性化方法,利用符号计算研究了若干高维非线性发展方程的Lump解、反应解和呼吸解.主要工作有:求解了(3+1)维KP方程的Lump解、反应解和呼吸解以及(2+1)维Ito方程的几类反应解;基于广义双线性方法,求解了(2+1)维、(3+1)维浅水波方程的Lump解、反应解及呼吸解;在Hirota双线性形式和广义双线性形式下,获得了一类(3+1)维双线性方程的Lump解、反应解和呼吸解.通过图形分析了以上几类解的几何性质.第一章,对本文所用到的Hirota双线性方法和广义双线性方法进行了简单介绍,并且阐述了Lump解、反应解和呼吸解的研究和发展.第二章,基于双线性方法给出了(3+1)维KP方程的双线性方程,并利用Mathematica计算软件获得了方程的Lump解,在此基础上进一步讨论了方程的反应解和呼吸解.运用同样的方法讨论了(2+1)维Ito方程的几类反应解.第三章,首先基于广义双线性方法给出了(2+1)维及(3+1)维浅水波方程的双线性形式,再利用符号计算软件Maple求解了该方程的Lump解,并进一步讨论了方程的反应解和呼吸解.第四章,计算了一个(3+1)维双线性方程的反应解和呼吸解,并且基于广义双线性方法构造了该方程的Lump解、反应解和呼吸解.第五章,简单总结了本文的主要内容,并对以后研究的方向进行了展望.
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