本文研究了矩阵迹、算子迹的Bellman不等式和C^*-代数中广义矩阵迹的Bellman不等式，并讨论了一系列相关的不等式。全文分三章。 第一章研究了矩阵迹的Bellmann不等式及相关的不等式。主要证明了不等式： Tr[（AB）]^k≤Tr（A^kB^k），其中k∈N，A，B为同阶的半正定Hermitian矩阵，从而回答了Bellmann的一个公开问题。另外，还证明了当A，B∈M_n（C）是半正定矩阵时，（?）m∈N有 Tr（（AB）^m）≤{Tr(A^2m)Tr(B^2m)}^1/2。这就回答了Bellmann的另一公开问题。 第二章将Bellman问题推广到任意Hilbert空间，证明了：（?）A∈T（H），（?）n∈N有 Tr(（AA^*）²ⁿ)≥Tr(A²ⁿ（A^*）²ⁿ)。同时，还证明了：（?）A，B∈T（H）⁺，（?）n∈N有 Tr(（AB）²ⁿ)≤Tr(A²ⁿB²ⁿ)。利用算子迹的不等式，定义了算子的K-可换性和K-正规性，给出了相关性质． 第三章定义了 C二代数 M／ 上的广义矩阵迹以 M／)一 A及 A－模广义矩阵迹．当A－om时，研究了广义矩阵迹了：屹（qQ）一＊Q，它是满足以下条件的一个线性映射： （l）T(A 2 0，VA E M(C(O”； （2）＊(＊AU卜r(＊，VA＊付(＊Q几VU＊＊他(＊m》； （3）r（A） 5 ［T（A）］’，VA＊屹(C(Q》合．讨论了这个广义矩阵迹了：M／C(Q＊ p C(Q的若干重要性质，并研究了类似于Bellman不等式的若干不等式．特别，证明了以下结果： （）对任意＊B＊屹（C（Q》”及大＊N，有1《AB）＊）三T(A‘B＼ （2）对任意A，BEHCf（屹（C（Q）））及k。N，有了（（AB）’‘）三了（A’‘B’‘）．