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通过变量变换的方法将一组正交多项式转化成一组非2π周期三角多项式(以下简称为非周期三角多项式)，用非周期三角多项式作为逼近工具，对带Legendre权和Chebyshev权的正常积分和含Cauchy核的奇异积分的数值计算作了一些基础性研究．全文共分六章． 首先详细介绍了H.Tal-Ezer关于非周期三角多项式的正交化及非周期三角多项式逼近解析函数的一些结果，这为构造各种求积公式提供了理论依据．用变量变换将Chebyshev多项式变成非周期三角多项式，用函数在非周期三角多项式生成的子空间上的正交投影去逼近函数；对于具有大梯度的非周期函数，非周期三角多项式逼近优于多项式逼近的效果． 其次，用非周期三角多项式生成的子空间内的函数去逼近正常积分的被积函数，逼近由插值多项式实现，构造出带Legendre权和Chebyshev权的正常积分的求积公式；用函数在空间上的正交投影去逼近正常积分的被积函数的方法构造出另一种带Chebyshev权的正常积分的求积公式；以上三种求积公式与传统意义下的求积公式有所不同，同时提出了这三种求积公式精度的概念． 再次，用非周期三角变量变换，将含Cauchy核的奇异积分变换成一个含新的核的奇异积分，在理论上证明了这两种奇异积分定义的等价性，构造出含新的核的奇异积分的两种求积公式，然后利用变量逆变换将这两种求积公式变为基于非周期三角多项式的含Cauchy核奇异积分的求积公式；同时用含Cauchy核奇异积分的密度函数在非周期三角多项式生成子空间上的正交投影对密度函数进行逼近而得到第三种求积公式；提出了这三种求积公式精度的概念，讨论了这三种求积公式的收敛性． 最后对上述六种求积公式在计算机上用Matlab编程实现，从实验中的数值实例的误差结果和解析图像知，当密度函数不是周期函数且不均匀时，基于非周期三角多项式的求积公式要优于传统意义下求积公式的逼近效果，实验结果与理论分析相符．