随着当代科学快速发展,对最优化理论的需要也日益广泛与紧迫。而正则性作为最优化理论中的一个重要性质,在优化可行性问题的稳定性和灵敏性分析方面起着不可或缺的作用。1993年,Bauschke和Borwein首次提出了正则性的概念。事实上该性质等价于1967年Gurin, Poliac和Raik提出的GPR性质。同时,Bauschke和Borwein在定义正则性时也给出了一种较为特殊的线性正则性。随着集值分析和凸分析等研究集合的正则性的工具的发展和不断完善,迅速推动了正则性——线性正则和度量正则等的研究,并且在研究中取得一定的的理论成果,同时也促使国内外学者研究焦点由特殊的正则性向更一般化的正则性理论的研究转变。其中线性正则性的研究在近几年中一度成为研究的焦点。整体上看,本文可以概括为以下两部分的主要内容：第一部分,主要探讨了任意凸集族的线性正则性。一方面,在给出有关闭凸集族的线性正则性和有界线性正则性的概念后,研究了它们的性质及二者之间的关系。另一方面,通过对线性正则性和有界线性正则性的概念和性质的理解,探究了任意凸集族(主要是多面体集族和广义凸集族)的线性正则性。将有限个凸多面体集族的线性正则性推广到任意多个。同时,给出了任意多个广义凸集族的线性正则性的条件。这部分的内容主要是利用凸分析、集值映射、多面体和广义凸集等概念和性质进行研究和探讨的。第二部分,首先给出一种新的线性正则性的概念——F-线性正则性,同时证明了F-线性正则性和F-有界线性正则性之间的关系：当集族的交集有界时,集族的这个两个性质是等价的。最后,给出了一般的闭凸集族和广义凸集族(拟凸和伪凸集)的F-线性正则性的充分条件。这些研究为数学规划和逼近论奠定了一定的理论基础。。