考虑非散度型扩散方程其中m∈R，p>1，q≥0，f（u，x，t）为适当光滑的有界函数．它来源于自然界中许多扩散现象，如无力磁场的阻性扩散，生物种群的生存与竞争，传染病的蔓延等．本文的目的在于研究这类方程解的定性问题．全文共分三章，分别讨论方程的周期解、渐近性及行波解问题．在第一章，我们研究该类方程具齐次Dirichlet边值的时间周期解问题．对于在严格意义下的非散度型方程（m≥1），我们发现指数（p，q）的取值区域内存在一条奇异曲线，当（p，q）位于奇异曲线上时，非平凡周期解存在与否依赖于源系数的结构，而当（p，q）不在奇异曲线上时，周期解具有与源系数结构无关的确定的存在性与非存在性．事实上，当（p，q）位于奇异曲线下方时，正周期解一定存在，而当（p，q）位于奇异曲线上方时，还存在着一条临界曲线．当（p，q）位于奇异曲线和临界曲线之间时，可以得到具紧支集非平凡周期解的存在性；而当（p，q）位于临界曲线上或位于其上方时，至少对星形区域，周期解一定不存在．上述大部分结果都可以推广到可化为散度形式的方程（m<1）．我们注意到，对散度型方程而言，即便是对经典的含源Newton渗流方程和非Newton渗流方程，甚至于含源热方程，当（p，q）取某些值的时候，非平凡周期解的存在性长期以来一直未能得到解决．在本文的第二章，我们致力于方程第一初边值问题解渐近性的研究．首先讨论可以精确刻画解整体存在和爆破性质的Fujita指标理论；根据临界指标的划分，我们研究正稳态解的存在性，稳态解（包含正稳态解及零解）的渐近稳定性．确切地说，对次临界情形，我们得到了正稳态解的稳定性；对临界情形得到了零解及正稳态解的稳定性与不稳定性结果；对超临界情形我们也得到了零解的稳定性结果，且此时任何正稳态解都是不稳定的．在本章的最后，我们研究了周期解的渐近稳定性及吸引性，特别是次临界情形周期吸引子的存在性．作为本文最后一章，我们考虑这类方程的行波解问题，着重探讨这类方程光滑波前解的存在性、唯一性以及正则性理论．我们发现，指数m，q都分别存在着阈值mc，qc．对于非负源情形，具连续基数的光滑波前解族可能存在，但这族波前解不存在最小波速的充要条件是m≥mc；而当m<mc时存在光滑波前解的充要条件是q≥qc．对于变号源情形，光滑的波前解至多有一个，m≥mc时只可能有递减的波前解，而m<mc时递增和递减的波前解都可能存在；我们给出了光滑波前解存在的充要条件．无论是非负源还是变号源，阈值mc都是方程是否具严格意义非散度结构的临界值，这揭示了非散度型方程区别于散度型方程的特殊性．在正则性的讨论中，我们给出了sharp波存在的充要条件，该条件表明，sharp波的存在与波速是否处于临界状态无关，而仅与指标m，p，q的取值有关．