在逝去的近十年时间里,偏微分方程在图像处理中的各种应用已发展成为应用数学、计算机视觉识别技术与数字图像处理与分析等领域的重要研究热点;在图像增强,图像去噪,图像修复,图像放大,图像分割等等方面有着非常广泛的应用;并引起了越来越多的数学家的注意。研其原因,首先偏微分方程能直接处理图像中的梯度,切线,等照度线,曲率等几何信息;又可以有效的模拟各向同性扩散,各向异性扩散的信息传输机制。然后在数学理论上来说,偏微分方程图像处理模求解有非常成熟的各种数值方法做为强大的支持。再次图像处理中的偏微分方程方法有着超越传统处理方法的视觉效果。本文有针对性的探索了偏微分方程在图像修复、图像放大等两个方面中的应用与研究,主要的工作研究和创新点如下:1.从曲率驱动扩散模型的图像修复模型的理论行为分析出发,得出导致该模型修复速度非常缓慢的原因,并修正导致速度慢的因子与除去奇异因子,其失去的边缘保护机制,用冲击滤波器予以修正,从而得到一种基于三阶非线性偏微分方程的图像修复新模型(SF_CDD模型),并在数值实验中取得了良好的视觉效果。2.由曲率驱动扩散模型设计思路的启发;将曲率驱动机制引入张量扩散的偏微分方程模型用于实现图像修复。数值实验表明该算法同样取得了较好的视觉效果。3.将线性仿射不变几何热扩散方程应用于图像的放大,同时也利用提高已知像素点的温度来加速热传递过程,实验结果的视觉效果明显优于传统的插值放大。4.基于图像的放大与修复的数学本质(插值填充)的相似性,将SF_CDD模型引进行图像的放大,由于其中的扩散系数包含了等照度线的几何信息,所以具有光滑图像边缘的机制,又由于引入了图像增强方法—冲击滤波器。因而其具有抑制锯齿现象保护甚至锐化边缘的作用。