随着科学技术的不断发展,数学中各种各样的问题越来越引起人们的广泛关注,比如作为数学中重要分支的椭圆方程和基尔霍夫问题,因其能很好的解决实际生产中的各种问题而受到了国内外自然科学界,特别是数学界的重视.椭圆型方程在流体力学,弹性力学,电磁学中都有广泛应用,而基尔霍夫问题在物理学中电磁场对电流运动的影响方面有重要应用.近年来人们对这两类问题的研究得到了一些新成果,而超二次椭圆方程的非平凡解和p(x)-基尔霍夫问题解的存在性又是近年来讨论的热点.本文利用局部环绕定理和局部极小方法研究了超二次椭圆问题非平凡解和p(π)-基尔霍夫问题无穷多正解的存在性并用具体例子验证所得结果的有效性.　　 本文共分为三章:　　 第一章为绪论.本章共分为两节,在第一节中介绍变分法的发展历史.在第二节给出证明过程中将用到的几个重要定义和定理.　　 第二章考虑Dirichlet边值问题　　 -△u+α(x)u=g(x,u),x∈Ω,　　 u=0,x∈Ω,　　 非平凡解的存在性,其中α(x)∈LP(Ω),p>N／2,g∈C((Ω)×R,R)而且Ω()RN(N≥3)是一个边界光滑的有界区域,假设G(x,u)=∫u0g(x,s)ds,当G(x,u)满足(G1)当|u|→+∝在Ω上一致成立时,G(x,u)／|u|2→+∞.(G2)当|u|→0在Ω上一致成立时,G(x,u)／|u|2→0.(G3)令(G)=1／2g(x,u)u-G(x,u)满足　　 (ⅰ)G≥α3|u|β,如果|u|≥R,　　 (ⅱ)|g(x,u)|σ／|u|σ≤α4(G)(x,u),如果|u|≥R,其中α3,α4>0,σ>N／2+1,q=σ+1／σ-1,β>q+1.(G5)存在δ>0使得　　 (ⅰ)对所有的|u|≤δ,x∈Ω:有G(x,u)≥0成立；或　　 (ⅱ)对所有的|u|≤δ,x∈Q,有G(x,u)≤0成立.　　 如果0是-△+α(具有Dirichlet边界条件)的一个特征值,那么Dirichlet边值问题至少有一个非平凡解.　　 本章主要利用局部环绕定理,在更弱的条件下研究了上面Dirichlet边值问题非平凡解的存在性,用(C)*条件代替了(PS)*条件,推广并改进了一些已知的结果.　　 第三章研究P(x)-基尔霍夫问题　　 其中Ω是RN中的光滑有界区域,P=p(x)∈C((Ω)),10且λ>0,f(x,u):Ω×R→R是一个Caratheodory函数并且存在t*>0使得　　 假设函数f(x,t)满足下列条件:　　 (ⅰ)对每一个n∈N,都存在满足0≤ζn<ζn和ζn,ζn∈R使得对a.e.x∈Ω,有　　 (ⅱ)存在一个非空开集S∈Ω.一个常数M≥0和一个满足lim tn=0的序列{tn}n∈N()R+＼{0}使得　　 (ⅲ)f(x,0)=0.　　 那么,对每一个λ>0,问题(Pλ)有一列a.e.正的弱解{un}强收敛到零并有　　 本章利用局部极小原理和变指数Sobolev空间中的定理研究了p(x)-基尔霍夫问题(Pλ)在不同的条件下由原来的(P1)情况推广到更一般的(Pλ)情况,推广了已知的结果.