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自从1835年Hamilton提出Hamilton原理以来,Hamilton原理一直是非线性科学领域的重要组成部分,Hamilton原理描述的是一切真实的、耗散效应可以忽略不计的物理过程均可表示成Hamilton系统.由于Hamilton系统广泛存在于数理科学、生命科学以及其它的科学领域,特别是天体力学、量子力学、航天科学以及生物工程中的许多数学模型都是以Hamilton系统的形式出现,因此人们对Hamilton系统的研究长盛不衰.虽然几乎所有的实际问题所产生的Hamilton系统都是非线性的,但在许多情况下需要研究其在平衡点或周期解附近解的各种性质,这就需要对非线性Hamilton系统进行线性化.对线性Hamilton系统的谱理论研究至关重要.线性Hamilton系统谱理论不仅具有理论意义,而且是解决实际问题的工具.
微分Hamilton系统基本理论的研究已有很长历史(见[1,2]),它的谱理论也已经被深入地研究.线性微分Hamilton系统的谱问题分为两类:定义在有限区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则谱问题;否则,称之为奇异谱问题.对于正则谱问题的研究,已经形成了比较完整的理论体系,如特征值问题、特征函数的正交性、(权)平方可积函数关于特征函数系的展开定理、Rayleigh原理以及正交多项式理论.奇异谱问题研究相当困难,这是因为奇异微分算子不但有点谱,还有其它谱点,如连续谱.对于微分算子奇异谱问题的研究起始于1910年H.Weyl的工作.他通过引入m(λ)函数将二阶对称微分算子分为极限点型和极限圆型[3].这一工作被Titchmarsh,Coddington,Levinson,Weidmann,Hinton,Krall,陈,史,綦等人进一步深化并推广到Hamilton系统,一些极限点型和极限圆型的判别准则相继被建立[4-29].这一理论被称为Weyl-Titchmarsh理论.Chaudhuri和Everitt建立了二阶自伴微分算子的谱和Weyl函数解析性之间的关系[30].Hinton和Shaw将他们的结果推广到一类奇异Hamilton系统,建立了一定条件下奇异Hamilton微分算子的谱和Weyl函数奇异性之间的关系[31].史玉明研究了具有一个奇异端点的Hamilton系统极限集的矩阵半径的秩与平方可积解的关系,证明了相应最小算子的亏指数可以由极限集矩阵半径的秩来表示[26].因此,人们可以通过研究Weyl函数来研究微分算子的亏指数和谱.
微分算子的自伴扩张是微分算子谱理论的一个重要方面.我们知道,在正负亏指数相等的情况下,对称算子总存在自伴扩张.如何给出它的一切自伴扩张,也就是如何描述出它的一切自伴扩张域变成了一个自然而又重要的问题.描述自伴扩张域有许多方法,例如经典的von Neumann理论.对于微分算子,Glazman,Krein,Naimark建立的GKN理论给出了最小算子自伴域的完全描述,即最小算子任何一个自伴域可以确定一个GKN集;反之,任何一个GKN集可构造最小算子的一个自伴域.在经典的Weyl-Titchmarsh理论中,二阶奇异对称微分算子的自伴域是通过分离边界条件来描述的,其中奇异点的边界条件是通过方程的解来表现的.然而,这种分离型边值条件描述的自伴域并未涵盖二阶对称微分算子的一切自伴域.基于GKN理论,曹之江利用平方可积解给出了二阶和高阶极限圆型的微分算子的自伴域一种直接而又完全的描述[32-34].随后,孙炯利用平方可积解给出了具有中间亏指数的高阶微分算子一种完全的描述[35].最近,孙华清和史玉明利用系统线性无关平方可积解给出了一般奇异微分Hamilton系统的自伴扩张域的完全描述[36,37].
奇异微分算子谱的构成相当复杂,除了孤立的特征值外,还可能包含本质谱.而正则微分算子的谱仅由孤立的特征值构成,研究起来比较简单.因此,自然提出如下问题:如何用正则谱问题的谱来逼近奇异谱问题的谱?解决该问题不仅具有理论意义,而且为近似计算奇异微分算子的谱提供了一种方法.1993年,Baily等人研究了实系数二阶对称微分算子谱的正则逼近问题[38].依据两种极限型的分类,他们利用方程的解给出了三类一般的自伴边值条件,给出了最小算子的自伴扩张域.在每一类的边值条件下分别构造正则区间上的诱导算子,证明了诱导的正则自伴算子强预解收敛到奇异情况下的自伴算子,由此给出了谱的正则逼近结果.在他们工作的基础上,1998年,Brown等人研究了实系数的四阶对称微分算子谱的正则逼近问题[39],他们在不同的极限型分类下,只考虑了分离型边值条件对应的自伴算子谱的正则逼近.本文主要考虑在极限圆形和极限点型情况下,一端奇异Hamilton系统谱的正则逼近问题.利用[36]所给出的Hamilton系统的自伴扩张域,分别构造适当的正则自伴算子,来实现谱的正则逼近.
本文共分两章.第一章介绍线性算子的基本理论与线性微分Hamilton系统的一些基本结果.第二节给出了有关对称算子亏指数的基本概念和算子强预解收敛和依范数预解收敛等概念及有关结果.我们对一般自伴算子进行了研究,给出了自伴算子与投影算子之积强预解收敛能推出算子谱包含,并且证明了自伴算子的预解式和投影算子之积依范数收敛能推出谱准确,为证明线性微分Hamilton算子在极限圆型时是谱准确的奠定了基础.第三节引入一端奇异情况下线性微分Hamilton系统相应的最大算子H和最小算子H0并介绍其性质.同时我们还研究了线性微分Hamilton系统解的性质.
第二章研究了一端奇异情况下线性微分Hamilton.系统在极限圆和极限点型下谱的正则逼近.第一节给出了线性微分Hamilton系统包含2n阶对称微分方程的结论.第二节给出了线性微分Hamilton系统在极限点型和极限圆型下的自伴扩张域,并分别给出了在这两种极限型下的诱导正则自伴算子的定义域.第三节研究线性微分Hamilton系统在极限圆型下谱的正则逼近.我们利用GKN集表示的自伴扩张域形式,证明了诱导正则自伴算子与投影算子之积强预解收敛到给定的自伴算子,并且利用Green公式,证明了诱导正则自伴算子的预解式和投影算子之积依范数收敛到给定的自伴算子的预解式.然后,利用第一章第二节的相关结果,证明了诱导正则自伴算子关于给定的自伴算子是谱准确的.第四节研究线性微分Hamilton系统在极限点型下谱的正则逼近.利用与第三节同样的方法,证明了诱导正则自伴算子与投影算子之积强预解收敛到给定的自伴算子.从而证明了诱导正则自伴算子关于给定的自伴算子是谱包含的.另外,在某些条件下,构造了一类特殊的诱导正则自伴扩张域,证明了该诱导正则自伴算子在不含给定算子的本质谱的区间上关于它是谱准确的.第五节将相应的正则逼近结果应用到了2n阶对称微分算子上.