密码函数是多种密码系统的重要组成部分.要使设计的密码系统能够抵抗各种已有的攻击,要求该系统所选用的密码函数必须满足一些相应的密码学性质,如平衡性、相关免疫性、弹性、高代数次数、高非线性度、高代数免疫度、低差分均匀度等.因此研究和构造具有优良密码学性质的密码函数在理论和实际应用上都具有重要意义.本文主要研究密码函数几个关键密码学性质的分析和构造问题,得到了如下研究成果:针对非线性度、代数免疫度及差分均匀度这三类关键密码学安全性指标,本文首先运用组合数学中的重要工具一 Schur·函数,给出了最优代数免疫平衡布尔函数的一种新刻画.利用此刻画给出了 Carlet-Feng函数是最优代数免疫函数的新证明.同时,构造了三类平衡的最优代数免疫布尔函数.发现所构造的三类函数中存在高非线性度、高代数次数等其它优良密码学性质的例子.其次,采用将函数的定义域分为两个子集,且在这两个子集上定义不同置换的方法,得到了一类4-差分置换.研究了其代数次数、非线性度等密码学性质.还讨论了该类函数与12类4-差分置换的CCZ不等价性.最后,构造了五类二次Semi-bent函数及两类Plateaued函数,并与已知构造进行了比较.本文还对Budaghyan-Carlet多项式及Dembowski-Ostrom型函数的重要密码学性质进行了分析.讨论了一个与Budaghyan-Carlet多项式有关的集合所含元素的性质和个数.通过研究Budaghyan-Carlet多项式的分量函数,得到了一类Bent函数,回答了 Budaghyan-Carelt多项式是否能通过加上线性化多项式成为置换多项式这一问题.另外,证明了若Dembowski-Ostrom型多输出布尔函数有唯一零根且其导函数有一个或者四个根,则该布尔函数具有经典Walsh谱,且其Walsh谱分布可以明确给出.由此进一步得到了四类Dembowski-Ostrom型APN函数的Walsh谱分布.