近年来,许多数学家对整数分拆函数进行了探索与研究,并发现了它的很多性质和结论。Hardy和Ramanujan利用分析的方法得到关于整数分拆函数一个经典的渐近公式。随后,Rademacher改进了他们的方法得到了整数分拆函数的一个收敛级数的表达式。Lehmer在Rademacher的基础上给出了整数分拆函数收敛表达式的截断误差估计。对图兰不等式,高阶图兰不等式和双图兰不等式的研究源于对Laguerre-Pólya类中函数的Maclaurin系数性质的研究。实数序列{a_n}_n≥0,当n≥1时,若它满足a_n²-a_n-1a_n+1≥0,我们称它满足图兰不等式或称作对数凹的;当n≥1时,若它满足4(a_n²-a_n-1a_n+1)(a²_n+1-a_na_n+2)-(a_na_n+1-a_n-1a_n+2)²≥0,我们称它满足高阶图兰不等式;当n≥2时,若它满足(a_n²-a_n-1a_n+1)²-(a²_n-1-a_n-2a_n)(a²_n+1-a_na_n+1)≥0,我们则称它满足双图兰不等式。通过对Lehmer给出的截断误差估计研究,DeSalvo和Pak证明了整数分拆函数满足图兰不等式,并进一步猜想整数分拆函数满足更精确的不等式。该猜想已被陈永川,王星炜和谢懿彪利用整数分拆函数的对数的有限差分的上下界给出了证明。在本文中,我们也基于Lehmer的结果给出了整数分拆函数的一个上下界及一些相关的不等式。利用这些不等式,我们证明了整数分拆函数满足高阶图兰不等式和双图兰不等式。在第一章中,我们首先介绍了图兰不等式、高阶图兰不等式、双图兰不等式和Laguerre-Pólya类。我们指出Laguerre-Pólya类中的任意函数,它的Maclaurin系数满足图兰不等式和高阶图兰不等式的,而当这些系数都是正数时,也满足双图兰不等式。我们也介绍了两类乘子序列,这两类乘子序列完全刻画了Laguerre-Pólya类。之后,我们介绍了整数分拆函数p（n）的概念并列举了最近一些有关p（n）不等式的研究结果。在第二章中,我们深入地研究了Hardy-Ramanujan-Rademacher公式及Lehmer的截断误差并给出了p（n）的一个上下界。由这个结果,我们导出了u_n=p（n-1）p（n+1）/p（n）²和s（n）=u_n-1+u_n+1-u_n-1u_n+1的上下界。我们还探究了u_n,u_n+1和s（n）之间的关系,并给出了u_n+1关于u_n的上界和u_n关于s（n）的上界。在第三章中,我们利用第二章得到的不等式证明了整数分拆函数序列{p（n）}_n≥95满足高阶图兰不等式及{p（n）}_n≥222满足双图兰不等式。