三维流形拓扑理论是低维拓扑学的一个重要分支.从三维流形的组合结构出发,通过三维流形中的一些曲面(如Heegaard曲面、不可压缩曲面及正则曲面等),把复杂的几何对象化解为若干简单对象进行研究,进而了解三维流形的拓扑性质和几何结构,这是三维流形研究中的重要方法.本文主要讨论了柄体在平环中嵌入的极大组及三维流形Heegaard分解的若干性质的问题，通过对极大组个数的研究，通过对Heegaard分解的若干性质与流形关系的分析，给出了某些三维流形及其中一些曲面的拓扑性质，对深入认识这些三维流形的几何结构起到了推动的作用。　　众所周知，柄体是相对简单的一种三维流形，但作为Heegaard分解的组成因子，其重要性又是不言而喻的.对真嵌入在柄体内的不可压缩曲面极大组的讨论是本文的一个出发点.本质圆片在柄体中嵌入极大组的个数是人们早就知道的.本文主要考察的是柄体内本质平环极大组的嵌入的个数问题.这个问题最早由Rubinstein和Scharlemann解决了亏格为2的柄体内平环极大组的个数，它可能是1，2或3.在这之后F.C.Lei和J.Y.Tang又对Hn(n≥3)中的本质平环组给出了上界4n?5，而且这个界是最好的估计.　　而在此基础上，本文工作的第一部分首先给出了真嵌入在柄体内平环的极大组的个数的一个最好的下界的估计，结论为：令Hn是一个亏格n≥3的柄体，则在Hn内存在一个只包含两个平环的最大本质平环组.接着本文对上下界之间的每一种可能的情况都构造出了相应的例子，即下面的结论：令Hn是一个亏格n≥3的柄体，对每一个m,2≤m≤4n?5,都存在Hn中包含m个平环的最大组。　　作为研究三维流形几何结构和拓扑性质的一种重要工具，Heegaard分解理论在近几十年中得到长足的发展，在三维流形的一些问题的解决中也发挥了重要的作用.近几年Hempel提出了Heegaard分解距离的概念，这个概念一经提出马上引起了拓扑学家的关注，它不仅是Heegaard分解可约、弱可约以及不交曲线性质这些概念的一个推广，更为重要的是它在人们研究不可压缩曲面、流形融合及扭结的隧道数等等方面也有很多应用，开展对它及相关的一些Heegaard性质的研究对于认识三维流形拓扑性质而言具有相当重要的理论意义.　　本文工作的第二部分就是主要对Heegaard分解的一些性质做了深入系统的研究，首先推广了Thompson的一个结果，给出了Heegaard分解满足不交曲线性质的一个充分条件.接着讨论Heegaard分解的双经线性质和不交经线性质.分析了Heegaard分解双经线性质与本质圆片相交数之间的关系，给出了亏格为1的Heegaard分解满足双经线性质的流形类别.还就亏格为1和2Heegaard分解满足不交经线性质的流形进行了分类.最后给出了Heegaard分解满足不交(A2,D2)性质的一个充要条件。