本文研究了开放的非均匀平板波导的特征模式的科学计算，其中对应的数学问题是带变折射率的亥姆霍兹方程的特征模式分析与计算。本文得到了其中模式的传播常数所满足的色散关系方程，同时也给出了相应的数值求解方法。　　光波导是物理上一类用来传输光频电磁波的光学器件。在数学上，麦克斯韦方程组和由之推导出的亥姆霍兹方程可以被用来描述刻画光波导中的光传播性态;而波导中的电磁场可以用方程的特征解，即“模式”，的展开式来表达。光波导中的特征模式可以分为两类:可数的传播模和不可数的辐射模。而在芯层区域内，辐射模的连续统可以用有限个离散的泄漏模的和来近似。模式与传播常数是一一对应的。通过求解亥姆霍兹方程所对应的Sturm-Liouville算子的特征问题，就可以求出这个传播常数，进而找到相应的模式。　　一个光波导对应着一个色散关系方程，它的解就是传播常数。对于均匀波导，其中每一层介质的折射率都是常数，已经有很多方法可以很容易地给出其色散关系。而在本文中，研究的是更一般的，在数学上也更复杂的问题，即介质层内的折射率连续变化的非均匀波导。此时，我们利用转移矩阵和微分转移矩阵方法，结合其他的数学工具，得到了此类非均匀波导的色散关系，提供了求解传播模和泄漏模的传播常数的有效方法。　　一方面，从非均匀的环形弯曲的平板波导入手，本文采用共形映射，将柱坐标系下的问题在形式上等价转化成一个直角坐标系下的、平直的非均匀平板波导问题;然后，引入、推导并利用了微分转移矩阵方法和转移关系来推导波导中的模式满足的精确色散关系。这个色散关系的求解比较困难，因为它的形式较为复杂，甚至不容易给出明确的解析表达式;但是对于折射率的变化较为缓慢的一类光波导，可以用一个简单易解的非线性方程来近似精确的色散关系。之后，本文还推导出了优化的渐近解公式，给出了方程的渐近解来作为后续数值求解方法的初始值。通过迭代计算，本文的计算方法在数值实验中得到了具有较高精度的结果。　　另一方面，为了进一步提高计算方法的精度，本文针对更一般性的平板波导，在不要求其芯层折射率缓慢变化的前提下，以转移矩阵和微分转移矩阵方法为基础，利用矩阵相似变换原理精确地计算了矩阵指数，推导出了其模式所满足的精确的色散关系方程的解析表达式，并将其与之前的近似方程进行了理论和数值上的分析对比。与现有方法相比，这一发现能够显著提高模式求解的精度和适用范围。为了验证本文提出的方法的这一优势，我们从理论上给出了之前的近似方法的截断误差分析。针对实际应用中的求解需要，本文用渐近分析给出了色散方程的近似解。虽然是近似的，但是这组渐近解可以显式地由一组形式上更为简便易求的公式来解析表达，因此这样的渐近解作为后续的数值方法的初始值很有意义。与已有的近似算法相比，在数值实验中可以观察到本文的方法求得了更精确的结果，适用性也更强。