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本文着重研究了黎曼子流形上几何、分析与拓扑的若干问题.证明了球面中一类常平均曲率超曲面的第二拼挤(Pinching)定理;获得了第二拼挤常数的优化估计;证明了欧氏空间中n维超曲面的Betti数消没定理和低维超曲面的拓扑球定理;在曲率积分拼挤条件下，证明了双曲空间中完备的平行平均曲率子流形的积分型刚性定理;获得了Cartan-Hadamard流形中紧致带边极小子流形上Laplace算子和Schrodinger算子的高阶特征值估计.本文主要内容由五个部分（第二至第六章）组成. 本文第二章研究了球面中一类闭超曲面的数量曲率拼挤问题.J.Simons，H.B.Lawson，Chern-do Carmo-Kobayashi证明了关于球面中闭极小子流形的著名刚性定理.据此，陈省身(S.S.Chern)提出了关于球面中极小超曲面的著名陈省身猜想.Peng-Terng在陈省身猜想的研究上取得了重要进展，得到了球面中具有常数量曲率闭极小超曲面的第二空隙定理，并进一步证明了球面中n(≤5)维极小超曲面的第二拼挤定理.之后，Yang-Cheng，Suh-Yang先后改进了Peng-Terng的第二空隙定理.Wei-Xu和Zhang先后得到了n=6，7和n=8情形球面中极小超曲面的第二拼挤定理.最近，Ding-Xin证明了球面中n维极小超曲面的第二拼挤定理.在第二章中，我们证明了球面中一类闭常平均曲率超曲面数量曲率的第二拼挤区间存在性定理，推广了Peng-Terng，Wei-Xu，Zhang和Ding-Xin的第二拼挤定理. 第三章刻画了球面中Clifford环面一种新的几何特征.我们运用新的估计方法，优化了在第二章中得到的球面中常平均曲率超曲面数量曲率的第二拼挤区间的宽度.设Mn为球面Sn+1中n维闭超曲面，H和S分别为M的平均曲率和第二基本形式模长平方.在第三章中，我们证明了存在一个显式表达的正常数γ(n)，使得当|H|≤γ(n)，且β(n，H)≤S≤β（n，H）+n/23时，必有S三β(n，H)，且M为Clifford环面Sk（√n/k）×Sn-k（√n-k/n），1≤k≤n-1;S1(1/√1+μ2）×Sn-1（μ/√1+μ2）之一，这里β（n，H）=n+n3/2(n-1)H2+n(n-2)/2(n-1)√n2H4+4(n-1)H2μ=n|H|+√n2H2+4(n-1)/2.当n∈{6，12，24}时，我们给出例子说明当条件|H|≤γ(n)去掉时，该定理结论不成立. 第四章研究了欧氏空间中紧致超曲面上无迹Ricci曲率积分的拓扑下界和Betti数的消没定理，以及低维超曲面的拓扑球面定理.运用关于高度函数临界点平均值的Shiohama-Xu积分公式，我们获得了欧氏空间中n维紧致超曲面第一Betti数的几何上界估计，并证明了无迹Ricci曲率的Ln/2拼挤条件下欧氏空间中紧致超曲面的Betti数消没定理，即对于欧氏空间中n维紧致超曲面M，证明了:(i)β1=βn1≤1/C(n)∫M|R°ic|n/2dM;(ii)如果∫M|R°ic|n/2dM＜C(n)，那么β1=βn-1=0.这里C(n）为显式表达的正常数.特别地，我们还获得了三维和四维紧致超曲面的拓扑球面定理. 第五章证明了双曲空间中完备平行平均曲率子流形的积分型刚性定理.Shen, Wang, Lin-Xia, Xu, Bérard, Shiohama-Xu, Shen-Zhu, Ni, Xu-Gu, Xu-Huang-Gu-He，Xia-Wang等人先后研究了空间形式中极小子流形和平行平均曲率子流形的积分型刚性问题.当平均曲率H＞1时，Xu-Huang-Gu-He得到了双曲空间中完备平行平均曲率子流形的积分型刚性定理.球面中完备平行平均曲率子流形的积分型刚性定理为该结果的直接推论.设M为(n+p）维双曲空间Hn+p中n(≥3)维完备平行平均曲率子流形.我们证明:如果M的平均曲率H≤δ（n），lim supR→∞∫BR(q)|A-|2dM/R2=O,∫M|A°|n/2dM≤C1(n),∫M|A°|ndM≤C2(n)dM≤ C1(n),∫M|A°|ndM≤，那么A°≡0，即M为全脐子流形.这里δ(n)(＜1)，C1(n)，C2(n)为显式表达的正常数. 第六章研究了Cartan-Hadamard流形中紧致极小子流形上Laplace算子和Schrodinger算子的高阶特征值问题，较大地推广了李伟光(P.Li)、丘成桐(S.T.Yau)等人的结果.设M为紧致带边黎曼流形.设入k为M上Laplace算子的第k个Dirichlet特征值，N(α)为M上Schrodinger算子△-V的不大于-α的特征值个数.当M为R中光滑的有界区域时，P.Li和S.T.Yau证明了著名的特征值不等式i=1∑kλi≥Cna/N+2 k n+2/2 vol(M)-2/n，其中Cn为Weyl常数;他们还获得了N(α)的上界估计:N(α)（n(n-2)/4e）n/2ωn-1≤∫M(V+α)n/2(x)dx.当M为Cartan-Hadamard流形Nn+p(p≥0）中的n维紧致带边极小子流形时，我们证明了下述结果:(i)kΣi=1λi≥2nπ/ek n+2/nvol(M)-2/n;(ii)N(α)C1（n）≤∫M(V+α)n2(x)dx，其中C1（n）为显式表达的正常数.值得一提的是，lim/n→∞2nπ/e/Cn=1.由此可见，对于高维紧致带边极小子流形，广义Pólya猜想接近于成立.