近二十年来,凝聚态物理学家致力于寻找Majorana费米子,因为这种费米子满足非阿贝尔统计以及受系统拓扑保护,可以用来实现具有容错的拓扑量子计算机。这里的Majorana费米子不是一种基本粒子,而是以准粒子激发的形式存在于拓扑超导体中。拓扑超导体和Majorana准粒子的理论预言,最早由Kitaev和Green等人提出。他们通过理论证明一维和二维无自旋p超导体中的零能边界态就是Majorana准粒子（以后简称为零模）。然而,本征p波超导体在自然界很罕见。这一僵局直到2008年Fu-Kane近邻方案的出现才得以打破。在该方案的启发下,近十年来物理学家们在凝聚态体系中设计了多种实现Majorana零模的方案,并观测到了诸多零模存在的迹象,比如零偏压电导峰和单电子的库仑阻塞峰等,但是这些信号并非Majorana零模所特有。最能充分证明Majorana零模存在的探测方案只有通过编织操作来验证其非阿贝尔统计性,但至今还未实现。目前的理论和实验进展大致可分为四个方面:（1）研究Majorana零模和平庸态的相似性,并提出更多的平庸解释,比如Andreev束缚态、无序、近藤效应和弱局域化等因素的影响;（2）在原先方案的基础上考虑更多影响因素,建立更精确的理论模型;（3）提出新的探测Majorana零模的方案;（4）寻找新的近邻方案或者本征拓扑超导体。基于最新的理论和实验进展,我们研究了拓扑超导体中Majorana零模和平庸态的相似性,非常规配对密度波拓扑超导以及反向近邻效应等相关问题。具体的研究工作如下:1.纳米线/超导体系统中的Majorana零模和Andreev束缚态在过去,Andreev束缚态和Majorana零模的相似性被广泛研究,但一直集中在零能态相关行为。关于非零能Andreev束缚态模式的性质却少有研究。对此,我们以p波超导/纳米线和s波超导/纳米线两个模型为例,讨论在不同拓扑相区间束缚态的低能激发谱和波函数相关行为。在拓扑非平庸区间,超导能隙起到势垒作用,使得零模和低能束缚态都局域在量子点上。这些束缚态的能量呈现出一系列等间距能级,其大小只由量子点的参数来决定,这是由二次Andreev反射机制所保证。这个图像对于p波和s波超导模型都是成立的。在拓扑平庸区间,Andreev束缚态表现出不同行为。在p波超导模型中,超导能隙内的束缚态并不存在,而在s波超导模型中,Andreev束缚态可以在量子点处观察到,其波函数作无规则振荡。它们不再具有等间距能量,而是在零能附近发生能量振荡。我们对这些Andreev束缚态的低能激发谱给出了定量的理论解析和数值结果。这些标度行为可以实验测量,所以我们的工作为实验区分Majorana零模和Andreev束缚态,并验证它们的关系提供了理论支持。2.在自旋轨道耦合和Zeeman场共同作用下的配对密度波拓扑态由磁性、自旋轨道耦合和超导性集成的混合系统是实现拓扑超导体的重要平台,为近十多年里人们的研究热点。目前人们不仅聚焦于常规s波拓扑超导体,也预示了非常规配对密度波拓扑态及其Majorana零模存在的可能性。这里我们考虑含有自旋轨道耦合、Zeeman场以及配对势△0+△1 cos（qx）的一维超导系统。通过计算在布里渊区高对称点的Pfaffian多项式,我们得到该系统的拓扑相图。随着系统参数的改变,在拓扑平庸相（或者非平庸相）的内部可以产生与之拓扑性质相反且孤立的相岛,并且相岛可能发生相分离和相融合。这些现象并不是配对密度波拓扑态特有的,它也存在于具有周期化学势的常规拓扑超导体中。周期势诱导的相岛及其相分离和相融合过程,取决于Pfaffian多项式的实根个数成对地增加或者减少,而根结构的改变是由代数基本定理保证的。这些结果为探索周期势作用下的新奇相变开辟了广阔的前景,包括不同拓扑分类中的单粒子模型,以及具有多体相互作用的模型。3.拓扑绝缘体/二维超导异质结中的反向近邻效应在拓扑绝缘体/超导异质结中,超导近邻效应使得拓扑绝缘体表面态出现无自旋p波超导态。然而,人们对拓扑绝缘体反向近邻效应却关注相对较少,比如拓扑表面态对超导体配对的影响。基于最近有关拓扑近邻效应以及二维超导薄膜的实验进展,我们系统研究了拓扑绝缘体/二维超导异质结中的反向近邻效应,提出了一个新的图像理解衬底对超导电性的影响。我们先从具有强自旋轨道耦合效应的二维超导模型出发,对超导配对势作自洽计算,并从费米面上态密度的角度来理解配对势计算结果。然后考虑少数层超导薄膜（L=1-10）与拓扑表面态耦合的情况,并采用自洽计算方法来确定超导配对势大小。在自旋轨道耦合强度、界面耦合强度、超导薄膜和拓扑表面态的化学势等参数调控下,超导配对势会显著增强或者被抑制。我们给出两种可能存在的机制:未被占据的能带对吸引相互作用的重整化以及费米面上态密度的调制。我们把这两种机制统一为重整化电声耦合常数,并用它对超导配对的增强和抑制行为作出解释。这些结果不仅为实验上利用化学势和界面耦合实现超导电性的调控提供了理论依据,而且对超导异质结的反向近邻效应给出新的理解。