分片代数曲线定义为二元样条函数零点的集合.分片代数曲线不仅有其特有的代数几何方面的性质,而且与二元样条的插值问题,计算机辅助设计中的几何造型,图论中的四色猜想命题及传统代数几何的问题有密切联系.本文针对分片代数曲线与传统代数曲线本质上不同的性质,以及分片代数曲线在二元样条插值问题上的应用进行研究.考虑的问题包括：任意三角剖分上分片线性代数曲线的Bezout型定理,贯穿三角剖分上零阶分片代数曲线的Cayley-Bacharach定理,沿分片线性代数曲线的插值适定点组的性质及其在零阶二元样条函数插值问题上的应用,三角网格上离散曲率的计算公式及Willmore问题的离散格式.本文的主要工作如下：1.分片代数曲线的Bezout数定义为两条交点有限的分片代数曲线的最大交点个数.我们利用奇圈上分片线性代数曲线的交点性质,给出了仅含一个奇内网点v的三角剖分上分片线性代数曲线的Bezout数的上界,即三角剖分的胞腔数与奇内网点v到剖分边界的（图论意义下的）距离的差：T-dist（v,（?）Δ）.并且,当仅含一个奇内网点的三角剖分满足某一项点染色条件时,我们计算了该剖分上分片线性代数曲线的Bezout数,其值等于T-dist（v,（?）Δ）.此外,我们引入三角剖分的奇圈覆盖数的概念,计算了任意三角剖分的奇圈覆盖数的表达式,由此得到任意三角剖分上的分片线性代数曲线的Bezout数的上界.这一结果表明,含奇内网点的三角剖分上分片线性代数曲线的Bezout数与三角剖分的奇内网点之间的距离以及奇内网点到剖分边界的距离有关.2.代数几何中的Cayley-Bacharach定理研究平面上给定点集在给定次数的多项式空间上的独立条件的个数.其常见形式为：若m次代数曲线与n次代数曲线恰有mn个不同交点,则任何通过这些交点中的mn-1个点的m+n-3次代数曲线亦过余下的一点.我们指出,若贯穿三角剖分上m次0阶分片代数曲线与n次0阶分片代数曲线恰有mnT个不同交点,则任何通过这些交点中的mnT-1个点的m+n-2次分片代数曲线亦过余下的一点.并且,如果余下的一点所在的胞腔以△的两条或三条内网线为边,则满足上述条件的分片代数曲线的次数为m+n-1或m+n.此外,我们研究了沿分片代数曲线的插值点组（所谓沿分片代数曲线的插值点组,是一类位于给定的分片代数曲线上的点集,它与任何低次样条空间的插值点组的并集构成高次样条空间的插值点组,只要低次样条空间的插值点组的任何点不落在给定的分片代数曲线上）的性质并将其应用于二元样条插值问题.我们指出,星形域上沿分片线性代数曲线的k次0阶样条空间的插值点组在星形域各个胞腔的点数满足交错分布的性质.借助这一性质,我们给出了任意三角剖分上k次0阶样条函数空间的插值点组的新的构造方法.与传统的B网方法相比,此方法只依赖于点集在各个胞腔落在给定分片代数曲线上的点数,而与点集的几何位置无关.3.微分几何中的Willmore问题是在R3曲面的某个允许集中寻找曲面,使得其平均曲率平方的积分最小.从计算三角网格上顶点的平均曲率出发,我们首先给出了传统的两类平均曲率公式：余切和公式及二次拟合公式的收敛性质.利用余切和公式的误差函数分析,我们给出了一类新的计算平均曲率的公式,它由1邻域顶点的余切和公式的加权平均得到.渐近分析和数值实验均表明,该公式对计算三角网格上顶点的平均曲率具有很好的收敛性.并且,我们给出了基于二次拟合法的离散平均曲率的数值积分作为离散Willmore能.分析表明,若网格满足二次适定条件,离散Willmore能收敛于曲面的Willmore能；若网格的离散单位法向具有三次收敛阶,则离散能量泛函的极小元收敛于曲面的Willmore能的极小元.由此可以建立基于该能量泛函的Willmore问题曲面形变的数值模拟.