当今,固体力学的研究对象越来越复杂。它的数学模型除了包含传统的力学因素外,甚至包含了电、磁、声、光、化学和生物等环境条件。这些交叉领域成为固体力学发展的新的驱动力和生长点。固体力学的精确解对于指导这些交叉领域的发展具有重要作用。　　Lie群分析是寻找任意类型微分方程的群不变解的最强大最通用的方法。在对称群的作用下,微分方程的任何一个解仍然变换成这个微分方程的解;另一方面,微分方程存在映射到自身的群不变解。而且,如果微分方程容许一个相称的Lie群,那么Lie群分析可以给出这个微分方程的完整解集。而在力学里,Lie群分析特别地有效,因为力学的数学模型的本身结构相对于某些对称群就是不变的。　　本论文研究若干固体力学问题的群不变解,使用的分析工具就是Lie群和Lie代数。这些问题包括:任意形状截面杆的全塑性扭转问题、弹性力学的平面问题和空间问题,以及弹性动力学问题。主要获得的结果如下:　　A.利用Lie群分析完整地求解了任意形状截面杆的全塑性扭转问题的群不变解。我们得到了基本方程组的决定方程组和无穷小算子,扩展了已有的结果。这些无穷小算子是基本方程组容许的十维Lie代数的基。我们还给出了相应于不同无穷小算子的不变量和群不变解,并且根据无穷小算子对应的变换类型对群不变解进行了分类,同时解释了群不变解的物理意义。最后,我们画出了各个群不变解的解曲面,以便于观察群不变解的特征。值得注意的是,我们找到了一个保角变换下的群不变解。在以往的文献中,没有发现用保角变换去求解任意形状截面杆的全塑性扭转问题的例子。　　B.利用Lie群分析研究了弹性力学平面问题和空间问题。我们得到了弹性力学平面应力问题的群不变解。在相应的边界条件下,这个群不变解可以求解半平面体在边界上受法向集中力和半平面体在边界上受法向分布力等问题的应力场。对于以位移表示的弹性力学平面问题,我们利用一个无穷小算子构造了基本方程组的群不变解,并且将求解基本方程组转化为求解Riccati方程,即把二阶偏微分方程组约化为一阶常微分方程组。对于以位移表示的弹性力学空问问题,我们得到了基本方程组的无穷小算子,并且在一个无穷小算子下约化了弹性力学空间问题的基本方程组,即把原来的含三个自变量的二阶偏微分方程组约化为含二个自变量的一阶偏微分方程组,缩减了研究空间的维数。　　c.利用Lie群分析研究了不含体力二维均匀各向同性弹性动力学问题。我们得到了基本方程组容许的无限维Lie群。这个Lie群有一个五维的子群和一个正规子群。正规子群容许我们对弹性通解进行群变换,由Lie群分析的特性可知,弹性通解是基本方程组容许的某个子代数下的一种群不变解。我们还分别在直角坐标系下和极坐标系下探寻了弹性动力学平面问题的一些群不变解,在某些情形下给出了它们的物理解释。