【摘 要】
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经典有限群在交换多项式上作用的不变量理论中有诸多优美的结果,其中有两个标志性的结果,其一是Hilbert-Noether有限生成性定理,其二是Shephard-Todd-C hevalley定理.近年来,Kirkman,Kuzmannovich,Zhang等学者将Hopf代数作用在AS正则代数上的不变量理论视作恰当的非交换化,并取得了相关的一系列进展.因此本文首先概述了 Hopf代数作用下不变量的
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经典有限群在交换多项式上作用的不变量理论中有诸多优美的结果,其中有两个标志性的结果,其一是Hilbert-Noether有限生成性定理,其二是Shephard-Todd-C hevalley定理.近年来,Kirkman,Kuzmannovich,Zhang等学者将Hopf代数作用在AS正则代数上的不变量理论视作恰当的非交换化,并取得了相关的一系列进展.因此本文首先概述了 Hopf代数作用下不变量的有限生成性（仿射性）定理的发展历史,并给出一个新的不变量有限生成性定理.另外,建立非交换版本的Shephard-Todd-Chevalley定理,即要刻画AS正则代数在Hopf代数作用下何时其不动子环仍是AS正则代数的问题.1997年,Jing与Zhang证明了 AS正则代数的Poincaré级数总是有理数域Q上的有理函数.因此本文另一部分围绕与非交换Shephard-Todd-Chevalley问题相关的一个问题展开,即“假设K为域,Hopf代数H作用在K-连通的N-分次代数A上,则何时A的Poincaré级数的有理性蕴含AH的Poincare级数的有理性?”为此,我们计算了一类非平凡的半单Hopf代数内忠实地作用在量子平面上的不动子环的Poincaré级数,发现它是有理函数,并且分子分母均是一些分圆多项式之积.另外我们介绍了 2014年Ferreira与Murakami证明的一个特例.最后,我们初步探讨该问题在Hopf代数非半单时的情形,并计算了量子线性空间的玻色化作用在量子平面上时其不动子环的Poincaré级数的具体形式.
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