【摘 要】
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本篇文章考虑的模型为,大人口规模下的离散时间传染病模型.区别于传统的SIR模型,在本文的传染病模型中,单独的个体不再以相同的概率与其他个体发生接触,而是以特定的分布拥有一定数量的亲友.传染病在人群中的传播方式为,倘若某个体为患者,则下一时刻,该个体被治愈并获得终身免疫,而与该个体接触的亲友都将成为新增的患者.研究传染病模型的现实意义在于解决与人类生命安全息息相关的实际问题,例如,控制传染病的传播速
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本篇文章考虑的模型为,大人口规模下的离散时间传染病模型.区别于传统的SIR模型,在本文的传染病模型中,单独的个体不再以相同的概率与其他个体发生接触,而是以特定的分布拥有一定数量的亲友.传染病在人群中的传播方式为,倘若某个体为患者,则下一时刻,该个体被治愈并获得终身免疫,而与该个体接触的亲友都将成为新增的患者.研究传染病模型的现实意义在于解决与人类生命安全息息相关的实际问题,例如,控制传染病的传播速度,确定传染病造成的患者规模等.结合实际背景,传染病患者患病期间的活动范围,往往是医务工作者的排查范围,当排查范围不断扩张时,对传染病传播过程极限性质的研究是有意义的.以动态随机图论为工具,当初始患者数量不大时,用分支过程近似传染病传播过程是有效的.结合分支过程理论的经典结果,当人群规模不断扩张时,得到本编文章的第一个主要结果,即新增患者的数量将呈现出一定的极限性质. 结合实际背景,传染病病原体的感染性差异较大,因而并非所有的传染病传播过程中的初始患者都能保持在较小的数量,当初始患者数量与人群规模相关时,分支过程的近似不再适用.此时考虑初始患者数目为与人群规模相关的随机变量,通过合理的模型假设,对于不同规模的人群,初始的患者数量呈现出相关性和随机性.在此情形下,考虑各个时刻,新增患者与易感染者分别在总人口中所占比例的变化,运用大数定律,当人群规模趋于无穷时,得到本编文章的第二个主要结果,即新增患者比例与易感染者比例的轨迹都将趋近于确定的过程.值得说明的是,随机图模型能够很好地对传染病传播过程进行描述,本篇文章中关于传染病模型的研究和讨论都是建立在随机图构架之上的.
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