【摘 要】
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本文研究了Banach空间上算子矩阵的补问题和谱.主要内容包括Banach空间上有界上三角算子矩阵的补问题和谱,以及Hilbert空间中无界Hamilton算子的本质谱和Weyl谱.首先,基于正则算子的等价分解条件和空间分解技巧,利用行、列算子给出了上三角缺项算子矩阵存在左（右）Fredholm补、Fredholm补、左（右）Weyl补、Weyl补、左（右）Browder补和Browder补的等价
【基金项目】
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国家自然科学基金（批准号:11961052,11761029）； 内蒙古自治区自然科学基金（批准号:2021MS01006,2018BS01005）； 内蒙古高等学校自然科学研究项目（NJZY21207）；
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本文研究了Banach空间上算子矩阵的补问题和谱.主要内容包括Banach空间上有界上三角算子矩阵的补问题和谱,以及Hilbert空间中无界Hamilton算子的本质谱和Weyl谱.首先,基于正则算子的等价分解条件和空间分解技巧,利用行、列算子给出了上三角缺项算子矩阵存在左（右）Fredholm补、Fredholm补、左（右）Weyl补、Weyl补、左（右）Browder补和Browder补的等价条件;得到了上三角缺项算子矩阵存在上（下）半Fredholm补和左（右）Weyl补的一些充分条件;在算子A或B为正则算子的条件下得到了上三角缺项算子矩阵存在左（右）Fredholm补的充分必要条件,作为推论得到了左（右）Weyl谱和Weyl谱的扰动结果.此外,给出了上三角算子矩阵是左（右）Browder算子以及Browder算子的充分必要条件,并举例说明主要结论的应用.其次,研究了有界上三角算子矩阵的谱、点谱、剩余谱、连续谱恰等于其对角算子元相应谱并集的充分必要条件,一定程度上推广了Hilbert空间的相关结论;注意到Banach空间中算子值域和零空间可补的重要性,定义了值域不可补谱和零空间不可补谱,得到固有值域不可补谱和固有零空间不可补谱与对角算子元相应谱之间的初步关系,并在右上角元为全空间上同构算子的条件下得到了0属于上三角算子矩阵值域不可补谱和零空间不可补谱的充分必要条件;还得到了Hilbert空间上有界上三角算子矩阵的近似点谱、亏谱和1-类点剩余谱恰等于其对角算子元相应谱并集的充分必要条件,并举例验证了部分结论.最后,在Hilbert空间中,利用算子矩阵中算子元的性质给出了H-λI和H+λI是半Fredholm算子、Fredholm算子、左（右）Weyl算子和Weyl算子的充分条件,其中H是一般的无界Hamilton算子,λ∈ρ（A）或λ∈C.特别地,得到H是可逆算子、Fredholm算子和Weyl算子的条件,并且在一定条件下给出了H的本质谱、Weyl谱和算子元相应谱性质的关系.
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