【摘 要】
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本文研究重点是p阶Landau-Lifshitz类微分方程和p阶Ginsburg-Landau类的能量泛函.首先在磁饱和限制和球极投影变换下,p阶Landau-Lifshitz类的铁磁体模型方程被转化为复值函数
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本文研究重点是p阶Landau-Lifshitz类微分方程和p阶Ginsburg-Landau类的能量泛函.首先在磁饱和限制和球极投影变换下,p阶Landau-Lifshitz类的铁磁体模型方程被转化为复值函数的微分方程.其次,根据计算得到的|▽m|和场能积分的表达式构造一个与p阶Landau-Lifshitz类微分方程对应的具有异向性项的p阶Ginsburg-Landau类的能量泛函.我们发现复值函数的微分方程恰好是构造的p阶Ginsburg-Landau类能量泛函对应的欧拉拉格朗日方程.这说明了铁磁体在外磁场消失后,其磁矩在磁体的磁场能量达到极小值时不再发生偏转,此现象符合物质结构相对更稳定时能量相对更小的观点.然后,本文考虑p>2时,证明了p阶Ginsburg-Landau类能量泛函的度数为1的旋转对称全局极小值解函数的存在性.本文假设解函数是一类具有旋转对称性的函数,把p阶Ginsburg-Landau类能量泛函变换成关于一元实值函数的积分.通过计算知能量泛函被积函数式关于解函数导数的变化显凸性并且有下界,根据Evans, L.C编著的《偏微分方程》第八章第二节定理一(参见文献[8]),我们得到泛函对极小化函数列具有弱下半连续性.因为我们已经把极小值解函数定义在Wloc1,p(0,∞),再加上弱收敛区间的任意性,所以得出弱收敛函数列的极限函数是泛函的一个极小值解函数.最后,我们证明了该极小解函数所具有的相关性质.
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