延迟微分方程和非线性偏微分方程被广泛应用于刻画自然科学领域中的各种现象。本文研究半线性延迟微分方程和两类非线性偏微分方程指数型积分法的性质。考虑了半线性延迟微分方程指数Runge–Kutta方法的收敛性和稳定性。分析了Gardner方程和Camassa–Holm方程算子分裂法的收敛性。本文的主要内容包含以下几个方面。研究了三类延迟微分方程显式指数积分法的稳定性。对线性自治延迟微分方程推导了显式指数Runge–Kutta方法的P和GP收缩的充分条件。针对线性非自治延迟微分方程,证明了Magnus积分法是PN和GPN稳定且二阶收敛的。对CN上的半线性延迟微分方程,得到了显式指数Runge–Kutta方法的RN和GRN稳定的充分条件。给出了P和GP收缩,RN和GRN稳定的显式指数Runge–Kutta方法,并通过数值实验验证了理论结果。分析了复Hilbert空间上的半线性延迟微分方程指数Runge–Kutta方法的D收敛和条件GDN稳定。引入了指数代数稳定和条件GDN稳定的概念。推导了指数代数稳定、对角稳定以及p级阶方法具有的性质。证明了带q（q≥p）阶Lagrange插值且指数代数稳定和对角稳定的p级阶方法是p阶D收敛的。同时证明了指数代数稳定和对角稳定的指数Runge–Kutta方法是条件GDN稳定的。构造了指数代数稳定和对角稳定的方法并给出了数值算例。针对半线性抛物型延迟微分方程研究了显式指数Runge–Kutta方法的刚性收敛和条件DN稳定。在解析半群的框架下推导了1至4阶刚性收敛的阶条件,并给出了1至4阶刚性收敛的显式指数Runge–Kutta方法。特别地,证明了所有的显式指数Runge–Kutta方法都是条件DN稳定的。与经典的隐式Runge–Kutta方法相比,显式指数Runge–Kutta方法具有更高的效率和精度。分析了Gardner方程Strang分裂法的收敛性。先研究了非线性子方程的正则性。接着证明了Strang分裂法在H~2中是一阶收敛的且数值解在H~5中是有界的。再由数值解的有界性证明了Strang分裂法在L~2中是二阶收敛的。同时与三种经典的时间步进法比较精度和效率,也将Strang分裂法用于模拟Gardner方程的多孤波碰撞。研究了Camassa–Holm方程Lie–Trotter和Strang分裂法的收敛性。假设Camassa–Holm方程的解在H~4中有界。先分析了Camassa–Holm方程和两个子方程的正则性。接着由正则性结果证明了Lie–Trotter和Strang分裂法在H~2中是一阶收敛的且数值解在H~4中是有界的。再根据数值解的有界性证明了Strang分裂法在H~1范数下是二阶收敛的。最后给出了数值实验验证理论结果。