非线性矩阵方程在动态规划,控制理论,梯形网络,随机过滤,统计学等领域中都有着广泛的应用.近年来,对非线性矩阵方程的研究已成为数值代数领域的一个热点课题.尤其是,非线性矩阵方程的求解问题逐渐成为非线性领域和数值代数领域中研究和探讨的重要课题之一.这些年来,人们对非线性矩阵方程的研究已经取得了一系列的成果,本文在已有的成果基础上,系统地研究了以下三类非线性矩阵方程：(1)X+A*X-1A=Q(其中A为可逆矩阵,Q为正定矩阵)；(2)X+A*X-αA=Q(α>0)；(3) Xs+A*X-tA=Q(s,t为正整数).本文主要研究以上三类类非线性矩阵方程的解的存在性以及解的数值解法问题.本文的主要结果如下：1.对非线性矩阵方程X+A*X-1A=Q,给出了该方程正定解存在的条件以及两种求解该方程的迭代算法,并在一定的条件下证明了算法的收敛性.2.对非线性矩阵方程X+A*X-αA=Q,首先,给出了该方程正定解存在的必要条件,同时得到了使得该方程有正定解的新的充分必要条件.接下来,分α∈(0,1]和α∈(1,∞)两种情况,分别给出了求解该矩阵方程的两种迭代算法,同时给出了这几种迭代算法的收敛性定理及收敛速度.最后指出,当α∈(0,1]时,该方程有解时一定有最大解,当α∈(1,∞)时,该方程有解时一定有最小解.3.对非线性矩阵方程Xs+A*X-tA=Q,分别给出了该非线性矩阵方程有正定解X的新的充分必要条件以及具有形如X=θQ1/s(0<θ<1)的正定解的充分必要条件,尤其给出了当A为奇异阵且A,Q满足不等式λ1(A*A)≤s/s+t(t/s+t)t/sλnt/s+1(Q)时,矩阵方程的解的存在区间.最后给出了求解该矩阵方程的数值算法及收敛速度,尤其给出了当Q为单位阵时求解该方程的迭代算法及误差估计.