算子理论是泛函分析中讨论的一个极为重要的研究领域,是深刻反映众多数学问题本质的一个数学分支,具有十分重要的应用价值和深刻的研究意义.线性算子的谱及其相关问题是算子理论中一个重要的组成部分,在数学和物理学的许多分支有着广泛应用,如矩阵论、微分方程、积分方程、控制论和量子力学等.由于方阵要么单射要么奇异,因此矩阵的谱点只有点谱,而无穷维空间中线性算子的谱点可从不同角度分为点谱、剩余谱、连续谱、本质普、离散谱等.由于矩阵的谱结构和类型较算子少而且简单,所以刻画谱集合也相对容易,而线性算子的某些谱型涉及与值域和零空间等有关的诸多性质,相应刻画比较困难,甚至有时不能具体给出这些集合.鉴于此,本文以与线性算子谱的分布相关的问题为主题,围绕线性算子数值域在谱刻画问题中的重要作用和辛自伴无穷维Hamilton算子谱的对称性展开研究,为进一步研究线性算子的谱问题奠定了理论基础.无穷维Hamilton算子理论以及无穷维Hamilton系统中的一个重要问题就是刻画Hamilton算子特征函数系的完备性.而传统的完备性是以自伴算子的谱理论为基础的.但是,无穷维Hamilton算子一般是非自伴算子.20世纪末钟万勰院士将Hamilton系统引进弹性力学,推广了传统的分离变量法,将弹性力学问题的求解建立在Hamilton算子特征函数系的完备性的基础上.值得注意的是,Hamilton算子特征函数系的完备性和它的点谱关于虚轴的对称性密切相关.然而,一般情况下无穷维Hamilton算子的点谱不一定关于虚轴对称.为了解决这个问题我们研究了无穷维Hamilton算子的辛自伴性.研究并得到无穷维Hamilton算子的谱性质在刻画辛自伴问题中的重要地位,研究并得到一般无穷维Hamilton算子辛自伴的充分条件,以及某些特殊无穷维Hamilton算子辛自伴的充分必要条件.另一方面,点谱关于虚轴的对称性在证明无穷维Hamilton算子数值域的谱包含问题中也有非常重要的作用.由于数值域的谱包含关系,可以利用数值域和数值半径刻画有界线性算子谱的分布范围.但是,对于无界线性算子,谱包含关系成立当且仅当第一类剩余谱包含于数值域闭包.有界线性算子数值域的有界凸性在谱包含关系中也有非常重要的作用,但它不一定是闭集.后来,2013年,吴德玉等人在专著中指出,T是紧算子时,数值域闭的充要条件是零属于数值域.但是,对更一般的算子零何时属于数值域的问题还没有确切的结论.为此本文研究了零属于数值域的问题,得到了零属于数值域的充要条件,同时也对2003年P.Psarrakos等人提出的开问题做出了回答.注意到数值域半径关于算子的连续性,我们在Orlicz空间中研究了 Muntz有理逼近和倒数逼近问题,得到了相应的逼近误差估计式.多年来,随着线性算子局部谱理论研究的不断深入,出现了一些强有力的工具极大地丰富了算子谱结构的研究,例如利用解析函数定义的重要概念一单值扩张性.实际上,有很多算子都具有单值扩张性,如正规算子、谱算子、广义谱算子等.后来,有了局部化的单值扩张性的概念以后,可以在B-Fredholm算子、伪B-Fredholm算子与Drazin可逆算子、广义Drazin可逆算子之间建立起密切联系.本文除了对分块算子矩阵讨论具有单值扩张性的条件以外,还研究了广义Drazin可逆算子与伪B-Weyl算子之间的联系.同时也将2016年H.Zariouh与H.Zguitti没有完全解决的问题进行完善,并通过构造反例说明了 M.Berkani在其文章“Index of B-Fredholm operators and generalization of a Weyl theorem”中得到的Remark A（iii）的不合理性.