【摘 要】
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众所周知,Fubini-Pick张量在仿射微分几何的学习与研究过程中占有非常重要的地位.本篇论文主要研究低维具有平行（关于Calabi度量的Levi-Civita联络）Fubini-Pick形式的Calabi超曲面的分类问题.此分类问题与Tchebychev仿射K（?）hler超曲面以及仿射极值超曲面的分类密切相关.第一章简要介绍了本课题的研究背景及相关的研究成果.第二章给出了 Calabi几何的
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众所周知,Fubini-Pick张量在仿射微分几何的学习与研究过程中占有非常重要的地位.本篇论文主要研究低维具有平行（关于Calabi度量的Levi-Civita联络）Fubini-Pick形式的Calabi超曲面的分类问题.此分类问题与Tchebychev仿射K（?）hler超曲面以及仿射极值超曲面的分类密切相关.第一章简要介绍了本课题的研究背景及相关的研究成果.第二章给出了 Calabi几何的基本概念与知识.第三章,我们利用积分的方法对具有平坦Calabi度量和平行（关于Levi-Civita联络）Fubini-Pick形式的Calabi超曲面进行了分类,得到了如下定理.定理3.1.设f是定义在区域Ω（（?）Rn）上的光滑严格凸函数.如果f的graph M={（x,f（x））)|x∈Ω}是具有平坦Calabi度量和平行Fubini-Pick形式的超曲面.则M Calabi仿射等价于下列超曲面的一个开部分:（1）椭圆抛物面;（2）超曲面Q（c1,…,cr;n）,1≤r≤n.其中Calabi仿射等价以及超曲面Q（c1,…,cr;n）的定义详见第二章的定义2.3和例2.1.作为上述定理的直接推论,我们得到了具有平行Fubini-Pick形式的Calabi曲面的分类.推论3.1.设f是定义在区域Ω(（（?）R2）上的光滑严格凸函数.如果f的graph M={(x,f（x）|x∈Ω}具有是平行Fubini-Pick形式的曲面.则M Calabi仿射等价于下列曲面的一个开部分:（1）椭圆抛物面;（2）曲面Q（c1,…,cr;2）,1 ≤r ≤2.第四章,受文献[23]中思想的启发,通过解高斯结构方程以及借助de Rham分解定理,我们得到了 3维情况的分类结果.定理4.1.设f是定义在区域Ω（（?） R3）上的光滑严格凸函数.如果f的graph M={（x,f（x））|x∈Ω}是具有平行Fubini-Pick形式的超曲面.则M Calabi仿射等价于下列超曲面的一个开部分:（1）椭圆抛物面;（2）超曲面 Q（c1,…,cr;3）,1 ≤r ≤3;（3）超曲面x4=1/Rln（x12-（x22+x32））,其中常数R是M的数量曲率.第五章,运用与定理4.1类似的方法,我们得到了 4维情况的分类.定理5.1.设f是定义在区域Ω（（?） R4）上的光滑严格凸函数.如果f的graph M={(x,f（x）|x∈Ω}是具有平行Fubini-Pick形式的超曲面.则M Calabi仿射等价于下列超曲面的一个开部分:（1）椭圆抛物面;（2）超曲面 Q（c1,…,cr;4）,1≤r≤4;（3）超曲面（4）超曲面（5）超曲面x5=3/Rln（x1-（x2+x3+x42））,其中常数R是M的数量曲率,（3）中的常数μ1与Pick不变量J和数量曲率的关系为μ12=12J+7/2R.第六章,我们介绍了与本课题相关问题的研究及进展,并提出了分类高维具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面的思路.
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