【摘 要】
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在求解偏微分方程约束的最优控制问题上,传统方法主要借助有限元、有限差分等数值离散手段.虽然说传统方法具有很高的精确度,但是一般来说传统的求解方法都是基于网格的,这种局限性决定了传统方法只适用于简单低维的情形.由于深度神经网络采用的是无网格形式并且在近似高维函数时具有很强的非线性拟合能力,因此近年来使用深度神经网络代替传统的数值离散方法近似偏微分方程开始得到科学家的重视.但是,对于偏微分方程约束的最
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在求解偏微分方程约束的最优控制问题上,传统方法主要借助有限元、有限差分等数值离散手段.虽然说传统方法具有很高的精确度,但是一般来说传统的求解方法都是基于网格的,这种局限性决定了传统方法只适用于简单低维的情形.由于深度神经网络采用的是无网格形式并且在近似高维函数时具有很强的非线性拟合能力,因此近年来使用深度神经网络代替传统的数值离散方法近似偏微分方程开始得到科学家的重视.但是,对于偏微分方程约束的最优化问题的深度学习算法尚未得到充分的研究.与单一的偏微分方程问题求解不同,偏微分方程约束的最优化问题中偏微分方程的解以及参数还需要满足特定的优化目标,其求解难度远超普通的偏微分方程问题.为此,本文拟利用深度学习方法研究此类问题.本文的主要研究内容分为两部分.第一部分主要考虑的是分布式控制问题.第二部分主要考虑的是边界控制问题.我们首先将问题转化为特定的优化目标,其次构建出相应的损失函数,最后通过建立深度神经网络来进行求解.本文给出的深度学习方法具有很好的泛化性,能够求解控制变量无约束和带约束情形.最后实验结果验证了方法的有效性.
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