非线性泛函分析以数学、物理学、化学、生物学、医学、天文学、控制论、工程学、经济学等学科中出现的各种非线性问题为背景,建立了许多处理非线性问题的若干一般性理论,逐渐成为现代数学中一个既有深刻理论意义,又有广泛应用价值的研究方向.目前非线性泛函分析主要内容包括拓扑度理论、临界点理论、半序方法、解析方法和单调映射理论等.拓扑度理论是研究非线性算子定性理论的有力工具,从它可以推出许多著名的不动点定理.本文主要用Schauder不动点定理来证明解的存在性问题,具体内容如下:第一章为引言.第一节主要介绍研究背景,并结合背景,对具有交叉感染机制的两个人群的扩散传染病模型进行推广,得到如下更一般的系统:(?)其中x∈Rn,ui=ui(x,t)(i= 1,2,3,4),u==(u1,u2,u3,u4),且所有的参数均大于0.与此同时,给出本文所需假设.第二节主要介绍本文所需要的相关基础知识.第二章给出了上下解和全连续算子的构造及证明.首先,基于特征值的方法,给出临界波速c*的存在性定理.其次,引进关于原系统的辅助系统,当0>c*时,构造出辅助系统的四对上下解.最后由这四对上下解定义行波解的集合,并在该集合上定义出Schauder不动点定理所需要的全连续算子.第三章证明了强行波解的存在性以及弱行波解的不存在性.首先,我们用Schauder不动点定理证明当条件(C1)或(C2)成立,波速c>c*时,辅助系统存在弱行波解,也就是当tt=-∞时,行波解连接初始无病状态的平衡解,但当t= +∞时,行波解并不能连接最终无病状态的平衡解.因此,我们可以提出合理的假设,保证辅助系统强行波解的存在性,进而.由极限理论和Arzela-Ascoli定理得到原系统强行波解的存在性.最后,由双边Laplace变换方法证明当条件(C1)或(C2)成立,波速0<c<c*时,不存在弱的行波解:当条件(C3)成立,波速c>0时,也不存在弱的行波解.第四章为应用及总结.我们将上述结论应用于一个具有疫苗接种的扩散流感疾病数学模型[13]和研究背景中提及的扩散传染病模型(1.1).最后对本文进行总结,并介绍了本文的缺点及以后的研究方向.