一般来说,风险理论关注的是保险公司的商业运营,特别是公司的偿付能力。保险公司的基础问题是风险控制和分红问题。在文献中,有各种各样的衡量标准来处理这些问题,如,破产概率,期望折扣分红。风险理论的基础模型是由F.Lundberg在1903提出的古典Cramer-Lundberg模型。这个模型是用一个具有时间齐次性和独立增量性的复合泊松过程来描述的。从1903年以来,作为精算数学的一部分,聚合风险理论已成为一支活跃的研究领域。特别的我们提及Buhlmann和Gerber,他们是风险理论的先驱和开拓者。正因为古典风险模型有着优美而简单的性质,许多漂亮的结果得以获得。直到上世纪90年代,这些结果主要体现在与保险业密切相关的精算量的研究上,并且风险模型的范围基本上局限于保险人和被保险人之间。 进入二十一世纪以来,与货币流通的各个领域的理论研究开始出现了相互融合的趋势,特别是保险方面的研究显著地出现了与金融数学的研究相结合的特点,并且不再仅仅局限在保险人和被保险人之间,例如,分红,再保险,利率,投资等等。而且,对保险公司来说,时间齐次性和独立增量性是不切实际的。因此,在最近的文献中出现了各种各样的拓展风险模型。在这儿,我们展示几种拓展类。 首先,拓宽索赔间隔到达时间。放松索赔间隔到达时间指数分布的假设,考虑更-般的Sparre Andersen模型,也就是说间隔到达时间为任意的分布,可参看Dickson and Hipp(2001),Li and Garrido(2004),Gerber and Shiu(2005)andLi and Garrido(2005)。 第二,放松索赔间隔时间和索赔量的独立性假设。通常,对于上面提及的两类风险模型(古典风险模型和更一般的Sparre Andersen model),索赔间隔时间和索赔量是独立的。然而,存在着多种现实情况是这种假设是不合适的。比如,由于地震引起巨大灾难的公司,要更多考虑灾难的是在索赔之间的长期行为。最近,Albrecher and Boxma(2004)and Boudreault et al.(2006)提出了两种不同且相反的依靠结构以来修正古典风险模型,其中Boudreault et al.(2006)提出了下一个索赔量依靠上一个索赔间隔到达时间新型依靠结构。 第三,添加另外一些索赔类或一些扰动随机过程。通常,古典风险模型有一个索赔类,Yuen et al. (2002)和Li et al.(2005d)研究了具有两个索赔类的连续时间风险模型,其中一个索赔数过程是Poisson过程,另外一个是具有Erlang(2)(或一般Erlang(2))索赔间隔到达时间的更新过程。另外,在现实中保险公司的收入也不是确定性的。例如,顾客数是波动的,索赔到达密度也许是依靠时间的,索赔量和保费是随着通货膨胀而增加的。为了描述这种不确定性,人们在原始的风险模型中增加了一些随机扰动过程(例如布朗运动或levy过程)。 最后,进行投资和再保险。保险公司有几中措施可以采取。保险公司有可能进行投资和再保险。通常,保险公司能投资到风险市场和无风险市场,其中风险市场的价格过程遵循着几何布朗运动。除次之外,为减小大索赔带来的影响,几乎所有的保险人都要进行再保险。有各种各样的再保险形式。比例再保险和超额损失再保险是两类主要的保险策略。 在这些背景基础之上,我的博士论文主要致力于关于几类拓展风险模型的破产概率(Gerber-Shiu函数),分红问题和最优控制理论。论文组织如下。 在第一章,我们介绍了古典风险模型以及一些有用的定义,例如,破产概率,Gerber-Shiu函数和期望折扣分红。 在第二章,我们研究了带扩散扰动的一类Sparre Andersen风险模型在门槛分红策略下的期望折扣分红,这种Sparre Andersen风险模型的索赔间隔到达时间有一个共同的一般Erlang(n)分布。在这种分红策略下,我们假定如果余额在破产前超过某个门槛水平,分红以不超过保费率的常数率连续付出,如果余额在门槛之下,没有分红付出。我们取得了期望折扣分红函数所满足的一些积分微分方程和更新方程。最后,应用这些结果到带扰动的索赔为指数分布的Erlang(2)风险模型,我们给了一些详细表达和数值分析。 在第三章,我们考虑了由Boudreault et al(2006)提出的时间相依风险模型,也就是在索赔量Xk和索赔间隔时间Wk有一个依靠结构,即,我们假定c.d.f ofXk｜Wk是两个分布函数F1和F2的一种特殊组合,在门槛分红策略下,我们获取了Gerber-Shiu折扣惩罚函数的两个积分微分方程,其中一个方程的解能够表达为没有门槛分红策略下的Gerber-Shiu折扣惩罚函数和相应齐次方程的两个独立解组合的和,另一个方程满足缺陷更新方程。除次之外,我们研究了期望折扣分红。通过同样方式,得到了两个积分微分方程,并且给出了解。 进一步,我们考虑了索赔量依靠上一个索赔时间的离散时间类似风险模型,获得了Geber-Shiu函数和分红问题相应结果。 在第四章,我们考虑了具有两类索赔类的离散时间风险模型,其中从第一个索赔类的索赔间隔到达时间服从几何分布,从第二个索赔类的索赔间隔到达时间是两个独立的几何分布随机变量的和,这个模型的连续时间类似物已经被Yuenet al(2002)和Li et al(2005d)研究过。我们注意到,在样本轨道行为方面,这个离散时间风险模型和被Yuen et al(2002)和Li et al(2005d)研究过的连续时间模型有些特别的不同。事实上,关于离散模型,在同一时刻有可能以正概率分别来自两类索赔的跳(索赔),然而对于连续时间模型,在同一时刻以概率1只有-个跳(索赔)。在这一章,我们取得期望折扣惩罚函数的母函数,当从两个索赔类的索赔服从几何分布时,详细的结果得以获取。 在第五章考虑了具有投资回报的古典风险模型。通常,对于这类风险模型很难求得破产概率或Gerber-Shiu函数.应用侯等(2003)有关马尔可夫骨架过程的结果,我们给出了一个概率方法来获取关于三个精算量(破产时间,破产前余额,破产赤字)的联合密度的详细表达,这推广了吴等(2005)关于带常利率风险模型的相应结果。 在最后两章,我们考虑了最优控制问题。最近,最优动态可控问题在数理金融中引起了人们极大的关注。一个保险公司可以通过诸如在保险,投资,分派红利等商业手段来控制自己的风险。 在第六章,我们考虑了两个风险模型：扩散模型和Cramer-Lundberg模型。另外,每一个余额过程都取得利息收入。有一个很古典的问题是,寻求最优分红策略使得期望折扣分红达到最大。然而,为了迎合实际问题需要,目标函数也许有另外的量。受Thonhauser and Albrecher(2007)启发,我们把保险人的赚头加入要考虑的量,也就是值函数是V(c,L)=E(∫7 0e-βtdLt+∫7 0e-βt∧dt|R K O=x),这里,常数Λ≥0。我们称上面的表达为T-A目标函数。对于带常利率扩散模型和带常利率的具有指数索赔的Cramer-Lundberg模型,通过随机控制理论(HJB方程)问题得以解决：对于有界分红率,最优分红策略是门槛策略；对于无界分红率,最优分红策略是边界策略。 在第七章,我们考虑了带漂移的布朗运动来描述公司将来的资产。保险公司投资进入金融市场,这或许潜伏着风险的因素。为了减少这种风险,保险公司会采取超额损失再保险策略。在这一章,我们考虑公司如何选择合适的再保险策略来最小化公司的破产概率,得到了最优超额损失再保险水平和最小破产概率详细表达式。