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本文主要讨论一类具有non—pure分解的分次代数，称之为bi—Koszul代数．一个代数具有pure分解指在该代数的平凡模的极小投射分解中，每一个投射模都是由一个次数生成的；反之，称此代数具有non—pure分解．
Bi—Koszul代数包含Tnon—Koszul的1次生成的4维Artin—Schelter正则代数，这类代数不同于Koszul代数和d—Koszul代数，主要在于它的non—pure性．本文讨论bi—Koszul代数的同调性质．
首先，bi—Koszul代数可用它的Koszul对偶来等价刻画，但后者未必是有限生成的．本文将一类Koszul对偶是有限生成的bi—Koszul代数称为强bi—Koszul代数．为了解决bi—Koszul代数的Koszul对偶的生成性问题，引入了A∞—代数框架下的“有限生成”概念，该概念给出了乘法和元素之间的一种平衡．由此证明了bi—Koszul代数的Koszul对偶作为A∞—代数是[m2，m3]—有限生成的，其中m2和m3是该A∞—代数的两个乘法．
其次，研究了如何将bi—Koszul代数的non—pure性质转换成pure性，而non—pure性是由其极小投射分解或Koszul对偶来体现的．证明了在一定条件下，bi—Koszul模的non—pure分解可以分解成两个pure分解．而在A∞—代数框架下，有一类特殊的bi—Koszul代数称之为截断bi—Koszul代数也可以分解成两个pure部分．讨论了如何通过具有pure分解的代数构造bi—Koszul代数，而构造方法有很多，诸如单点扩张、正规扩张、Ore扩张等等．
作为bi—Koszul代数的推广，引入T(s，t，d)—bi—Koszul代数的概念．这类代数保留了很多bi—Koszul代数的同调性质，而且可以用具有pure分解的代数的自由积去构造这类代数．