【摘 要】
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双调和方程和p-Laplace方程是现代偏微分方程理论中的重要研究内容.双调和方程在光学,等离子体物理学,弹性力学和工程学等领域有广泛的应用.p-Laplace方程在非牛顿流体,非线性弹性,冰河学以及石油开采等领域有广泛的应用.近年来,带有p-Laplace双调和方程越来越受到学者们的关注.本文在非线性项满足适当的假设条件下,运用山路定理,喷泉定理及Nehari流形等方法研究了两类p-Laplac
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双调和方程和p-Laplace方程是现代偏微分方程理论中的重要研究内容.双调和方程在光学,等离子体物理学,弹性力学和工程学等领域有广泛的应用.p-Laplace方程在非牛顿流体,非线性弹性,冰河学以及石油开采等领域有广泛的应用.近年来,带有p-Laplace双调和方程越来越受到学者们的关注.本文在非线性项满足适当的假设条件下,运用山路定理,喷泉定理及Nehari流形等方法研究了两类p-Laplace双调和方程解的存在性和多解性.本文分为两章.在第一章中,主要讨论带有变号位势的p-Laplace双调和方程其中p ∈[2,2N(N-4)),N ≥ 5,Δ2u=Δ(Δu),Δpy=div(|▽u|P—2▽u),f∈ × R,R),V∈C(RN)可变号.在非线性项f满足适当的假设条件下,我们考虑了上述方程非平凡解的存在性和基态解的存在性.具体来说,首先利用变号位势的性质,构建一个Banach空间,然后以此空间为工作空间,讨论了方程对应能量泛函山路型临界点的存在性,最后通过比较Nehari流形上的最小能量和山路型临界点的能量,证明了方程基态解的存在性.在第二章中,首先运用山路定理,讨论带有拟线性项p-Laplace双调和方程非平凡解的存在性,接着运用喷泉定理,证明了方程无穷多高能量解的存在性.其中p ∈[4,6],Δ2u=Δ(Δu),Δpu=div(|Vu|P-2▽u),f∈ C(R3 × R,R),V ∈ C(R3)可变号且有下界.
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