小波分析是上世纪80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法,它被认为是傅里叶分析方法的突破性发展,它具有理论精深和应用广泛的特性。小波变换是小波分析的基础,选取不同的小波作小波变换,其在应用领域的效果也不同。作为频谱有限的Meyer型小波具有良好的光滑性、衰减速度快、一定的可微性等性质,并且其性质受尺度函数中选取的S形函数所影响,所以S形函数的构造对Meyer小波的性质起着重要作用,而且Meyer小波在信号处理、电力系统的谐波检测等领域有着广泛应用。因此,本文对频谱有限小波进行研究并且实现了Meyer小波中S形非多项式函数的构造,主要内容如下:首先,讨论由Shannon尺度函数表示的几个具有频谱有限的小波函数及其性质,它们在时间域上具有衰减性、频域上具有紧支撑性,而且这几个无论是正交还是非正交的小波,都可以利用小波变换和再生核空间理论,得到相应的小波变换像空间的再生核函数的一般表达式,以及当固定尺度因子时,得到其小波变换像空间的再生核函数的解析表达式。这为频谱有限小波变换的像空间描述奠定了理论基础。此外,由于Shannon小波有理想的频域,但是它在时间域的局部性很差。通过平滑Shannon尺度函数在频域上尖锐的边缘值可以得到Meyer小波的尺度函数,所以本文研究了正交的频谱有限的Meyer型小波函数。由于在Meyer型小波构造中S形函数的性质直接影响着Meyer小波的可微性、光滑性和衰减速度等,所以S形函数的选取至关重要。一方面,通过构造一个充分光滑的非多项式S形函数,研究其性质,给出了相应的具有充分光滑、高阶消失矩且无穷次可微性的频谱有限的Meyer型小波。另一方面,利用多分辨分析方法构造一个频谱有限的尺度函数,进而获得较广泛的Meyer小波函数,使得工程上常见的Meyer小波为它的特例。这为Meyer小波函数应用于信号的检测、图像处理等方面提供理论依据。最后将本文给出的非多项式型充分光滑的S形函数作为BP神经网络函数逼近中的激励函数,可以获得较好的函数逼近效果。