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非线性方程组的数值求解常见于许多科学与工程计算领域,具有十分重要的理论意义和实用价值.在Newton法的基础上发展而得到的不精确Newton法是目前求解大规模稀疏非线性方程组的主要方法之一.不精确Newton法是一个内外迭代过程,其外迭代是Newton迭代,而内迭代则是某个线性迭代.如果在为精确Newton法的内迭代中采用现代Krylov子空间方法,便可得到近年发展起来的Newton-Krylov子空间方法,其中,Newton-GMRES方法是Newton-Krylov子空间方法的典型代表.如果在Newton-GMRES方法的不精确Newton方向上配以线搜索技巧,就得到了具有全局收敛性的Newton-GMRES with backtracking(NGB)方法.尽管NGB方法已在许多领域得到了广泛而成功的应用,但是,对于一些坏条件问题,NGB方法的强健性却难以得到保证.该文就提高NGB方法的强健性进行了深入探索,提出了两种全局收敛性策略:quasi-conjugate-gradient backtracking(QCGB)策略和Levenberg-Marquardt(LM)策略,从而得到了两种强健性更高且具有全局收敛性的Newton-GMRES方法:Newton-GMRES with quasi-conjugate-gradient backtracking(NGQCGB)方法和Newton-GMRES with Levenberg-Marquardt(NGLM)方法.这两种方法的全局性策略是由两部分组成的:首先在不精确Newton方向上最多后退N<,b>步,如果在N<,b>步内得到了一个充分下降步,则我们可得到下一个迭代点,并进行下一次非线性迭代;否则,每个方法都运用各自的备选策略产生一个满足充分下降条件的步长以得到下一迭代点.这里,N<,b>是预先给定的非负整数.特别,NGQCGB方法的备选策略是QCGB,而NGLM方法的备选策略是LM.理论分析与数值实验均表明,我们得到的这些新方法可行有效,且计算效率更高.多元非线性方程的求解有许多应用背景.该文就非线性方程的求解提出了两种方法:方向割线法和Broyden方法.这两种方法的优点是不用计算导数.因此,它们具有较高的计算效率.对于每一种方法,我们均建立了相应的收敛性定理,并通过数值例子说明了这两种方法的有效性.