【摘 要】
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六类Painleve方程与许多数学、物理等问题密切相关,且有大量关于解析的、代数的、几何的性质不断被发现,因此研究Painleve方程的求解方法是非常重要且有意义的工作.Painleve方程的解被称为Painleve函数或Painleve超越函数,是非线性特殊函数.矩阵值Riemann-Hilbert(RH)数值方法是一种有效求解RH问题的数值方法,实质上是一种配置方法,其核心思想是基于任何简单曲
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六类Painleve方程与许多数学、物理等问题密切相关,且有大量关于解析的、代数的、几何的性质不断被发现,因此研究Painleve方程的求解方法是非常重要且有意义的工作.Painleve方程的解被称为Painleve函数或Painleve超越函数,是非线性特殊函数.矩阵值Riemann-Hilbert(RH)数值方法是一种有效求解RH问题的数值方法,实质上是一种配置方法,其核心思想是基于任何简单曲线都可共形映射到单位区间,并且能有效计算其在单位区间的Cauchy变换.本文主要运用该数值方法求解了第三类与第四类Painleve方程的近似解,进一步验证该数值方法的有效性及可行性.首先构造了跳跃矩阵与跳跃曲线,详细给出了将两类Painleve方程转为RH问题的过程;其次运用矩阵值RH数值配置方法将两类方程的每条跳跃曲线共形映射到单位区间并用Chebyshev基表示,计算出每条跳跃曲线在单位区间上Chebyshev基的Cauchy变换,推导出近似解;最后基于Mathematica软件应用矩阵值RH数值法求解了具体算例,给出了所求问题的近似解与误差图,分析了收敛性.数值结果进一步验证了该方法的有效性与可行性.
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