本文研究了分形插值这一拟合实际数据的一种新方法，对分形插值生成的曲线和曲面的若干性质作了研究。文章首先对分形几何思想的提出，进展概况和基本知识给出基本介绍。其次，总结了前人对分形插值曲线的研究成果，包括迭代函数系吸引子的存在唯一性，插值曲线的盒维数，分形插值算子的连续性，稳定性，并对已有的成果作出了自己的理解和补充。在此基础上，我们考虑了不同尺度下分形插值函数的积分，得到有关分形插值函数在不同尺度下积分问题的结论，指出了在不同的尺度下分形插值函数的积分值与生成分形插值函数的变换的系数之间的关系，为进一步研究分形函数的小波变换和小波分析提供了基础。再次，本文讨论了一类可微的分形插值函数。考虑了它的生成机理，插值性质，并用实例采用这类具有良好光滑性的分形曲线进行插值，给出了此类分形样条函数的定义和部分收敛性质。最后，作者详细研究了利用R3上迭代函数系生成矩形区域上分形插值曲面的数学模型以及生成机理。我们通过将其与传统的分片双线性拉格朗日插值曲面进行比较和计算，得到此类分形插值曲面的若干计算性质，运用一种平凡的方法计算推导出分形插值曲面的盒维数公式。同时，研究了它在通常意义下的积分计算公式，为运用分形插值曲面研究岩层剖面和断层表面的性质提供了有力的理论依据。通过分形曲面的研究可以拟和出实际应用中景物表面形态的逼真效果，在理论和实际应用两方面都有着重要的意义，是对分形理论有益的完善。