图论是数学领域一个重要分支,其中图的染色理论在图论研究中占有重要的地位.本文旨在讨论图的几类染色问题,包括随机图的f-染色,r-一致C-超图的染色和系列平行图的弱边面染色.设G=(V(G),E(G))是一个图,其中V(G)为G的顶点集,E(G)为G的边集.在V(G)上定义一个整值函数f,使得对任意的顶点v∈V(G),有f(v)>0.图G的f-染色c是一个边染色,使得每一个颜色类在任意顶点v上至多出现f(v)次.图G的f-染色所需的最少颜色数称为图G的f-色数,记为χf’(G).Hakimi和Kariv证明:对于一个简单图G,△f(G)≤χf’(G)≤△f(G)+1成立.这表明:类似于图的正常边染色,图的f-染色也可以分为两类.如果χf’(G)=△f(G),我们称图G是f-第一类的,否则称图G是f-第二类的.首先,本论文在已有的f-染色的相关结论基础之上,讨论了随机图的f-染色的分类问题.我们关注是否存在一个关于△的函数g,使得若对任意的顶点v∈V(G),f(v)=g(△),则随机图G(n,1/2)几乎肯定是f-第一类的,随后我们将上述结果推广至随机图G(n,p).最后我们得到了关于随机图f-染色的分类问题的几个结果.其次,我们讨论了r-一致C-超图染色的极值问题.混合超图H=(X,C,D)是一个三元组,其中X为H的顶点集.C为X的子集族,记作C-边.D为X的子集族,记作D-边.C=(?)的混合超图称为D-超图,D=(?)的混合超图称为C-超图.设H=(X,C,D)是一混合超图,如果满足对任意的C-边和D-边,都有|C|=r,|D|=r,其中r ≥ 2且为正整数,则称混合超图H为r-一致混合超图.特别地,若又有D=(?),则称H为r-一致C-超图.2002年,Vitaly Voloshin提出一个公开问题:当χ(H)≥k时,r-一致C-超图H的最大边数是多少?在本文中,我们得到了当χ(H)=k时,r-一致C-超图H最大边数的上界.随后,我们讨论了系列平行图的弱边面染色问题.2016年,在边面染色定义的基础上,Fabrici等人提出了平面图的弱边面染色概念.在提出概念的同时,Fabrici等人证明了连通、无环且无割边的平面图是弱边面6-可染的,并提出如下猜想:每个连通、无环且无割边的平面图是弱边面5-可染的.目前仅有极大平面图、外平面图以及哈林图等一些特殊平面图得以验证满足猜想.在本文中,我们得到如下结果:系列平行图G是弱边面5-可染的.本论文共分五章进行讨论.第一章,我们首先介绍了图的f-染色的分类问题、C-超图的染色问题及弱边面染色问题的背景,给出了一些基本概念和符号,介绍了相关领域的研究现状,罗列了本文的主要结论.第二章,我们主要讨论随机图的f-染色的分类问题.第三章,我们研究了r-一致C-超图的染色问题,解决了由Voloshin提出的一个公开问题.第四章,我们研究了系列平行图的弱边面染色问题,证明了Fabrici等人提出的猜想对于系列平行图也是成立的.第五章,我们指出了本论文可进一步研究的问题.