图的染色理论起源于十九世纪中叶被提出的著名的“四色问题”,是图论中最重要的研究课题之一。近些年来,随着离散型事物的数学模型应用的日益广泛,图的染色已不仅限于对图的点染色、边染色和全染色,各种特征的染色概念相继出现,从而使图的染色理论研究内容也越来越丰富。本文旨在研究特殊的1-平面图的一些有限制条件的染色问题。若无特别说明,本文所研究的图均为简单的,有限的,无向的非空图。如果一个图G能画在平面上使得任意两条边之间不产生内部交叉(即任何两条边之间仅在端点相交),则称图G称为可平面图。上述这样一种画法称为G的一个平面嵌入。平面图是指可平面图的某个平面嵌入。如果一个图G能画在平面上使得它的每条边至多被交叉一次,则称这个图为1-可平面图。满足上述条件的1-可平面图的平面嵌入称为1-平面图。设G是一个图的某个平面嵌入,如果G中出现交叉点,那么每个交叉点都可以与G中的四个顶点(即形成此交叉点的两条相交边的四个端点)的点集建立对应关系,记为∧。设a,b是G中的两个交叉点,如果∧(a)∩∧(=(?),则称a与b是相互独立的。如果图G能画在平面上使得其任何两个交叉点是独立的,则称图G为IC-可平面图。满足上述条件的IC-可平面图的平面嵌入称为IC-平面图。由上述定义我们可以得到1-平面图,IC-平面图以及平面图之间的关系为平面图(?)IC-平面图(?)1-平面图本文主要研究了 IC-平面图和不含3-圈的1-平面图一些染色问题并得到一些结果。一个图G的全k-染色是指一个映射c:V(G)∪ E(G)→ {1,2,…,k},使得G中任意两个相邻的点,相邻边和相关联的点和边有不同色。图G的全色数是指G为全k-可染的最小整数k的值,记为χ"(G)。著名的全染色猜想是指任何一个图G都满足χ"(G)≤ △(G)+ 2。本文将证明全染色猜想对于最大度至少为10且不含3-圈的1-平面图成立。在图G的一个正常全k-染色中,设∑c(v)表示点v及其关联的边的颜色之和,如果对任何边uv有∑c(u)≠∑c(v)成立,则称这个全k-染色称为邻和可区别全k-染色。图G的邻和可区别全色数是指G的邻和可区别全k-可染的最小整数k的值,记为χΣ"(G)。关于图的邻和可区别全染色,M.Pilsniak和M.Wozniak猜想点数至少为2的任何图G都满足说(G)≤ △(G)+ 3。本文将证明该猜想对于最大度至少是8且不含3-圈以及最大度至少是12且不含相邻3-圈的IC-平面图成立。如果对G中的每个元素x∈V(G)E ∪ 都分配一个颜色集合L(x),则称L是图G的一个全列表。若图G有一个正常的全染色c,使得每个元素x ∈ V(G)∪E(G)都有c(x)∈ L(x),则称图G是L-全可染的。如果对任意指定的颜色表L和每个元素x ∈ V(G)∪E(G)都有|L(x)| ≥ k且图G是L-全可染的,那么称图G是L-全可选的。图G的全列表色数χi"(G)是使得图G是全可选的最小正整数k。类似地,可定义图G的列表邻和可区别k-全色数chΣ"(G)。本文将证明最大度至少是14的IC-平面图满足chΣ"(G)≤ max{△(G)+ 3,17}。图G的无圈k-边染色是指一个不产生二色圈的正常k-边染色。图G的无圈边色数χ(G)是指使得图G是无圈k-边可染的最小正整数k。著名的无圈边染色猜想是指任何一个图G都满足χa’(G)≤ △(G)+ 2。本文将证明每个简单的IC-平面图满足χa’(G)≤ △(G)+ 17,每个不含相邻3-圈的IC-平面图满足χa’(G)≤ △(G)+ 10,每个不含3-圈的IC-平面图满足χa’(G)≤ △(G)+8。在图G的一个正常k-边染色中,设wc()v表示点v关联的边的颜色之和,如果对任何边uv有wc(u)≠wc(v)成立,则称这个k-边染色称为邻和可区别k-边染色。图G的邻和可区别边色数是指邻和可区别k-边可染的最小整数k的值,记为nsdis(G)。本文将证明每个不含3-圈及孤立边的连通1-平面图满足nsdi(G)≤ max{△(G)+ 18,49}。本文主要研究了 IC-平面图和不含3-圈的1-平面图上述染色问题,全文共分为六章。第一章主要介绍了图的基本概念与符号、有关染色的定义及相关猜想和本文的主要结论。第二章主要研究了不含3-圈1-平面图的全染色。这一章中,我们证明了如果G是△ ≥ 10且不含三角形的1-平面图,则全染色猜想成立。第三章主要研究了 IC-平面图的邻和可区别全染色。这一章中,我们证明了最大度是△且不含3-圈的IC-平面图满足χ(G)Σ"≤max{△(G)+3,11}。最大度是△且不含相邻3-圈的IC-平面图满足χΣ"(G)≤ max{△(G)+ 3,15}。最大度是△的IC-平面图满足chΣ"(G)≤ max{△(G)+3,17}。另外我们还证明了最大度是△ 的 IC-平面图满足χΣ"(G)≤ max{△(G)+ 2,16}。第四章主要研究了 IC-平面图的无圈边染色。在这章中,我们证明了每个简单的IC-平面图满足χa’(G)≤ △(G)+ 17,每个不含相邻3-圈的IC-平面图满足χa’(G)≤ △(G)+ 10,每个不含3-圈的IC-平面图满足χa’(G)≤ △(G)+8。第五章主要研究了 1-平面图的邻和可区别边染色。在这章中,我们证明了每个不含3-圈及孤立边的连通1-平面图满足nsdi(G)≤ max{△(G)+ 18,49}。第六章是本文结束章,在这一章中提出了一些可以进一步考虑的问题。