本文主要研究的是每一个充分大的正整数n都可表成一个数的平方或一个素数与一个平方数之和。设X是充分大的数E(X)=|{n∈[1，X]：n不能表示一个素数与一个平方数的和}|本文给出了如下结果：任意充分大的整数n∈[1，X]，有E(X)《Xθ这里θ=1-(1-2d9)b，b≤min{b1，1/1.04c3+(2+c9)c9c4,1/log(1.04c3)/c1(2+c9)c4}，P=Xb1(1-ε，c3，c4是正常数与P以及L-函数的无零区域有关，c1与L-函数的无零区域有关，c9与siegel零点对应的模有关。　　 全文由三章组成：　　 第一章简要介绍数论发展状况、解析数论的发展以及本文产生的背景。　　 第二章用圆法把函数r(X，n)=∑k2+p=n√x/2≤k≤√x,x/2≤p＜X logp分成主项和余项两部分；并根据siegel零点是否存在得到主项两个渐进估值，并估算余项。　　 第三章引进新的奇异函数，证明本节定理。最后用列表的形式观察的θ取值与L-函数的无零区域关系，并给出本文可能的进展方向。