【摘 要】
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完全非线性函数和几乎完全非线性函数由于其良好的差分性质,在密码学、编码学和有限几何等众多领域有着广泛的应用.而二次完全非线性函数和交换半域的对应关系,使得研究有限
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完全非线性函数和几乎完全非线性函数由于其良好的差分性质,在密码学、编码学和有限几何等众多领域有着广泛的应用.而二次完全非线性函数和交换半域的对应关系,使得研究有限交换半域来推动密码学、编码学等领域的发展成为可能.半域的研究始于Dickson,其后Knuth给出了半域特征的定义,使半域构造及其性质的研究成为有限几何中的热点问题.2013年, Zhou和Pott给出了一种基于Albert预半域乘法和秩为2的Cohen-Ganley预半域乘法的秩为2的新有限预半域。 本文的一部分工作是结合Zhou和Pott预半域乘法的构造思想，参考Albert旋转预半域乘法的形式，提出了一类新形式的预半域。然后利用域上自同构性质，证明了其中的参数多项式由有限域上自同构和非平方元所诱导，这表明该参数多项式为置换多项式，并且表达式是唯一确定的。 本文的第二部分工作是结合新给出的预半域以及Zhou和Pott提出的一个完全非线性函数，导出了两类几乎完全非线性函数。其中第一类几乎完全非线性函数等价于Zhou和Pott预半域所对应的APN函数。对第二类几乎完全非线性函数中m=4的情形,用magma软件进行了编程测试，证明了该几乎完全非线性函数是等价于另一个已知的几乎完全非线性函数。但是对于m,4的情形，测试所得到的几乎完全非线性函数是否等价于已知的函数仍是一个值得研究的问题.
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