【摘 要】
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组稀疏优化是一类特殊的具有组结构的稀疏优化,其在很多领域有着广泛应用,如变量选择、基因表达、图像恢复和神经影像学等,因此成为近年来最优化及相关领域的热点研究课题.在实际应用中,针对具有组稀疏结构的信息,采用组稀疏模型进行信号恢复能够提高恢复的精确性和改善恢复的稳定性.目前,关于单稀疏约束优化问题的研究,不论理论还是算法都已相对较为丰富和成熟.然而,组稀疏约束优化问题是非凸的、非光滑的且非Lipsc
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组稀疏优化是一类特殊的具有组结构的稀疏优化,其在很多领域有着广泛应用,如变量选择、基因表达、图像恢复和神经影像学等,因此成为近年来最优化及相关领域的热点研究课题.在实际应用中,针对具有组稀疏结构的信息,采用组稀疏模型进行信号恢复能够提高恢复的精确性和改善恢复的稳定性.目前,关于单稀疏约束优化问题的研究,不论理论还是算法都已相对较为丰富和成熟.然而,组稀疏约束优化问题是非凸的、非光滑的且非Lipschitz的,是一个NP难问题.又因为组稀疏结构的复杂性和约束条件的限制,故对组稀疏约束优化问题相关的研究还甚是缺乏.因此,本文以组稀疏为约束,研究非凸、非光滑的组稀疏约束优化问题的最优性理论及算法.具体内容如下:（1）给出了组稀疏约束集S的Bouligand切锥、Clarke切锥及其法锥的等价表达式.（2）基于切锥和法锥定义了组稀疏约束优化问题的一阶最优性条件:NB-稳定点、NC-稳定点、TB-稳定点和TC-稳定点.然后,建立了组稀疏约束优化问题的局部最优解、NB-稳定点、NC-稳定点、TB-稳定点和TC-稳定点之间的联系.（3）对于组稀疏约束优化问题,给出了其二阶最优必要和充分条件.在一定条件下,证明了其NC-稳定点是其严格局部最优解,满足二阶增长性条件.（4）针对组稀疏约束优化问题,设计有效算法.提出了组稀疏优化迭代硬阈值算法（Iteration Hard Thresholding for Group Sparse Optimization,IHT-GSO）,并分析算法的收敛性质.（5）最后,我们给出上述算法的两类实验:随机生成问题模拟,稀疏信号恢复.
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