【摘 要】
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探究数学物理方程的行波解及其动力学性质是当今数学物理的重要研究课题.一方面,本文从动力系统理论的角度研究旋转二分量Camassa-Holm（R2CH）方程和耦合Higgs场方程的行波解.具体来说,首先采用一些处理方法,将其转化为平面动力系统,再利用动力系统分支方法,得到平面系统在相应参数条件下的相图,由此来得到R2CH方程和耦合Higgs场方程孤立波解、孤立尖波解和扭波等的存在性,进一步根据平面系
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探究数学物理方程的行波解及其动力学性质是当今数学物理的重要研究课题.一方面,本文从动力系统理论的角度研究旋转二分量Camassa-Holm（R2CH）方程和耦合Higgs场方程的行波解.具体来说,首先采用一些处理方法,将其转化为平面动力系统,再利用动力系统分支方法,得到平面系统在相应参数条件下的相图,由此来得到R2CH方程和耦合Higgs场方程孤立波解、孤立尖波解和扭波等的存在性,进一步根据平面系统的哈密顿函数来计算出这些解的相应表达式,进而分析它们的动力学行为.另一方面,利用几何奇异摄动理论和Melnikov函数研究带Kuramoto-Sivashinsky扰动的Gardner方程的行波系统同宿轨道的存在性.具体来说,利用几何奇异摄动理论对行波系统降维,再利用Melnikov函数来证明其同宿轨道的存在性.这些研究对我们了解非线性系统的动力学性质有着重要的理论意义.本文分为以下五个部分:第一部分对平面动力系统基础知识、研究方法以及几类数学物理方程的研究背景及研究现状进行简介.第二到第四部分分别研究R2CH方程、耦合Higgs场方程的行波解和动力学性质,和带Kuramoto-Sivashinsky扰动的Gardner方程同宿轨道的存在性.第五部分对于全文的研究成果做出总结,并对以后的研究作展望.
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