分形几何是上世纪70年代中期发展起来的一门新兴的学科,它为研究自然界中一些不规则集提供新的思想、方法和技巧,已引起科学界的极大关注.正如Falconer在文中所述：“过去,数学已广泛涉及到那些可以用经典的微积分进行研究的集类和函数类,而那些不够光滑和不够规则的集和函数却被认为是‘病态’的,不值得研究而不被理睬。近几年来,这种态度发生了变化,人们已经意识到,对不‘光滑集’可以而且必须进行详细的数学描述,不规则集比经典的几何图形能更好地反映许多自然现象,分形几何恰好为研究这样的不规则集提供了总的框架。”特别在近年来,分形几何这一新兴学科在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科的研究和应用中获得巨大成功,同时,不同学科中提出的问题又刺激了分形几何的深入发展。因此,分形几何的诞生和发展对整个科学的发展有极为重要的意义,正如M.F.Shlesinger在文[2]中指出：20世纪的后半期似乎是科学与数学变得更加专门化的时期。令人瞩目的是,在前一个十年,下述两个课题使上述趋势得以逆转：非线性动力学与分形。前者涉及到运动的非线性确定方程的一般普适行为,而后者则是研究自相似或自仿射对象的几何以及几何上的动力学。两者均已应用到一系列深刻的交叉学科的问题中。 分形几何主要研究问题之一是分形集的许多形式的维数,如Hausdorff维数,填充维数,盒维数等。这些维数用以度量分形集的不规则性和裂碎程度,从几何角度看,它们反映了集合的填充空间的能力,是描述集合分形特征的重要参数。分形几何研究的另一个重要问题是计算分形集的Hausdorff测度。Hausdorff测度推广了长度,面积,体积等类似度量的概念,通常人们希望在给定了适当的尺度下,所测得的结果是正有限的。 但是,在分形几何的研究中,计算维数是一件十分困难的事,而要计算其Hausdorff测度就更加困难了。到目前为止,仅有几种比较特殊的分形集的Hausdorff测度被确定,如齐次Cantor集,一些Sierpinski地毯等,还有许多分形集的Hausdorff测度有待人们计算或估计。本文通过发展文[3,4]的技巧,计算了一类齐次Moran集的Hausdorff测度并且讨论了等价度量意义下的中心Hausdorff测度的相关问题。 全文分为四章。 第一章是引言部分。 第二章回顾了有关Hausdorff测度和维数的定义和性质以及在计算Hausdorff测度和维数中经常用到的技巧：几个覆盖定理和质量分布原理。还介绍了自相似集和Moran集的定义以及一些与计算自相似集和Moran集的Hausdorff测度相关的结论。 第三章首先给出了一类齐次完备集的定义,然后在一定条件下给出了计算这类齐次完备集的Hausdorff测度的精确表达式。 第四章讨论了加倍关系、等价中心Hausdorff测度及等价度量之间的关系。我们将证明Cρ,8与Cρ,h对所有的紧度量空间(X,ρ)等价,当且仪当g与h等价。