流动问题广泛存在于航空航天、聚合物加工生产、海洋工程、天气预测等各个领域,因此对其进行数值模拟研究具有着重要的科学意义及实用价值。实际的流动问题一般比较复杂,常常伴有对流、扩散等物理现象,也会遇到两种不同的流体以及变化的自由运动界面,因此发展稳定、高效、准确的数值方法,一直以来备受各界学者的关注。有限元方法(Finite Element Method,FEM)因其具有容易处理非规则区域、便于实施边界条件、能够得到高精度数值解等优点,成为求解流动问题的有效方法之一。然而,在运用传统FEM求解不可压缩流动问题时,会遇到Ladyzhenskaya-Babu?ka-Brezzi(LBB)限制条件、Reynolds(Re)数增加而引起的对流占优、较高Weissenberg(We)数所导致的数值不稳定以及运动界面难以精确捕捉等问题。为了解决这些问题,学者们提出了稳定化FEM,然而稳定化参数的选取并不容易,而且对结果有着较大影响。近年来,间断有限元(Discontinuous Galerkin,DG)方法因其能够稳定、精确地处理对流问题,易于得到高精度的数值解而备受青睐。然而,在处理椭圆型方程时,需要引入额外的中间变量或者惩罚项,这会增加总的计算量以及程序设计的复杂度。本文发展了一套基于分裂格式的FEM-DG耦合算法,充分吸收两种方法的各自优势,并运用其对若干典型的流动问题进行了数值模拟研究。本文主要工作如下:(1)针对FEM在处理不可压缩流动问题时遇到的LBB限制条件、Re数增加引起的对流占优、DG方法在处理椭圆型方程时需要引入额外的未知量或者惩罚项等问题,本文提出了一种基于分裂格式的FEM-DG耦合算法。对于分裂得到的子方程,该耦合算法充分利用FEM和DG方法各自的优势分别进行求解,即:采用DG方法处理对流方程,运用FEM处理Poisson和Helmholtz方程。同时,耦合算法中速度和压力采用等阶插值基函数,进而降低了内存容量及编程复杂度。相比于FEM,耦合算法能够避免使用任何稳定化方法;和统一的DG格式相比,耦合算法能够提高总的计算效率。(2)针对FEM处理Oldroyd-B非牛顿流动时遇到的较高We数问题以及应力奇异问题,本文进一步发展了基于分裂格式的FEM-DG耦合算法,用以求解较高We数下的Oldroyd-B非牛顿流动问题。对于非牛顿流动中Navier-Stokes方程的求解,采用FEM-DG耦合格式。对于Oldroyd-B本构方程的求解,运用Runge-Kutta Discontinuous Galerkin(RKDG)方法。该耦合算法中,速度、压力、应力依旧采用等阶插值基函数,且避免了选取任何稳定化参数。与稳定化FEM相比,该耦合算法处理含有应力奇异点问题效果更好。(3)针对模拟粘性-粘性不可压缩两相流问题时遇到的两种大密度、大粘度比的流体,以及较为剧烈变化的自由界面、稳定化FEM求解两相流问题时,需要在每个时间步进行Level Set函数重新初始化过程、Level Set方法存在质量不守恒性等问题。本文建立了一种FEM-DG-Level Set的耦合算法,用以求解各种情形下的粘性不可压缩两相流动问题。对于粘性两相流中Navier-Stokes方程的求解,采用FEM-DG的耦合算法。对于Level Set及其重新初始化方程的求解,运用RKDG方法。另外,还引入了一个简单的质量校正技术。该耦合算法可以有效、稳定、准确地处理粘性-粘性两相流问题,在较长时间内无需对Level Set函数进行重新初始化,并能保证良好的质量守恒性。(4)针对聚合物充填过程中所遇到的粘弹性-粘性两相流动,简单的幂律型方程不能很好地描述聚合物浓厚体系的流变行为、流动过程中会涉及到非规则的型腔制件等问题。本文基于eXtend Pom-Pom(XPP)本构方程,进一步发展了FEM-DG-Level Set的求解框架。对于粘弹性-粘性两相流中的Navier-Stokes方程,采用FEM-DG的耦合算法进行求解。对于XPP本构方程,运用RKDG方法进行求解。该耦合算法可以稳定、有效地处理粘弹性-粘性两相流问题,成功模拟较为复杂的五孔插座面板型腔中的充填过程,为聚合物工业过程提供数值预测方法。