在本文中,我们将利用奇异摄动理论中的渐近展开法、经典的能量方法、变分方法(包括直接变分法和约束变分法)、上下解方法(也称为单调方法)、山路引理(也称为极大极小方法)和加权的Sobolev空间技巧等,对来自于现代物理学领域的几类方程进行了深入地研究.具体说来就是,对来自于辐射流体力学中的输运方程利用渐近展开法和能量方法研究了其混合层方程的渐近极限问题;对来自于弦理论中正反膜效用理论的BPS涡旋方程综合利用变分法、上下解方法和加权的Sobolev方法,在全平面上研究了其非拓扑解的存在性和解在无穷远处的渐近性态;对来自于规范场理论中Yang-Mills-Chern-Simons模型(简记为YMCS模型)利用变分法和分析技巧研究了其径向对称解的存在性,并给出了解在边界点处的渐近估计;最后,我们对来自于现代光学中的非线性Schr¨odinger方程利用约束变分法和山路引理研究了其稳态方程涡旋解(包括鞍点解)的存在性.本文共分五章.第一章简单介绍上述四类方程的物理背景、研究现状和本文所得到的主要结果.为了方便起见,我们也罗列了本文所用到的一些知识.在第二章中,我们研究了描述辐射在材料中的空间输运过程的辐射输运方程的小平均自由程的扩散极限.为了得到辐射输运方程的小平均自由程扩散极限,我们首先构造渐近展开的形式解,然后验证这些展开式的正确性.我们令小平均自由程?趋向于零,极限方程的边界条件与原辐射输运方程的边界条件并不能匹配.这就需要我们对极限方程的解加一个扰动项使其更接近原辐射输运方程的解,这个扰动项就是边界层(混合层)函数(当极限方程的初始条件与原方程也不能匹配时,就会出现混合层).通过渐近展开,我们找到扰动项的方程,对其进行求解,再对扰动项进行估计,即可得到有界区域[0,1]上,当平均自由程趋于零时,非线性输运方程的扩散极限.第三章中,我们建立了出现在弦理论中正反膜系统的效用理论中的BPS涡旋方程的解存在性定理和解的一些性质.我们首先将BPS方程化为R~2上带有Dirac质量源项的具有高度非线性的椭圆方程.然后利用了加权Sobolev空间的技巧和变分方法得到一对上下解,最后用单调迭代方法证明了有界解的存在性.此外,我们还给出了解在无穷远点的渐近估计.第四章中,对规范场中出现的描述具有磁荷和电荷的经典激发的非线性场:Yang-Mills-Chern-Simons(简记为YMCS)模型,我们首先讨论了其数学结构,并由此导出了它所对应的非线性常微分方程的两点边值问题;其次,利用直接变分法证明了YMCS模型局部涡旋解的存在性,并利用分析技巧研究了解的性质;最后,利用比较原理建立了解在端点处的渐近估计.第五章中,我们将对出现在现代几何光学中的非线性Schr¨odinger方程进行了研究,建立了稳态方程涡旋解的存在性定理.首先通过约束极小问题,我们证明了正径向对称解的存在性,并给出了波传播常数的下界估计.其次,我们利用极小极大技巧证明了非平凡解(鞍点解)的存在性.