感应加热是利用电磁感应的方法使被加热的工件内部产生涡流,依靠涡流的能量达到加热的目的.感应加热由于加热速度快、铁屑损耗少、节能和便于控制等优点而被广泛应用于金属熔炼、铸造和焊接等各种现代工业制造中.由于感应加热存在集肤效应,将导致工件内部产生的电流都集中在表面,且随着频率的增加这种现象越明显.在加热过程中,如果功率过大,将会造成工件内部温差过大,影响热成型成品的质量和模具寿命;如果功率过小,则加热时间长,浪费能源,增加成品氧化皮含量.因此,通过控制保证加热物件的温度均匀性就显得十分必要.本文在总结描述感应加热以及感应加热熔化过程中物体内部温度分布的耦合偏微分方程组的基础上.建立了均匀感应加热（熔化过程还要考虑期待的熔化程度）的最优边界电场控制问题的数学模型,并对这两大类最优控制问题进行了系统的理论研究.针对每一类问题,考虑了电阻率系数不随温度变化和随温度变化两种情形,在合适假设下,研究了几个受控系统解的适定性及相应最优控制问题解的存在性和一阶必要最优性条件.具体内容如下:1.针对可导电材料,分别建立电磁感应加热和带熔化过程的电磁感应加热数学模型.可分别描述为两个耦合系统:Maxwell方程组与热传导方程的耦合系统;Maxwell方程组与Caginalp相场方程组的耦合系统.进一步,以均匀加热,熔化程度和能量最省为目标,给出了局部外加电场最优控制问题的数学描述.2.关于可导材料电磁感应模型,对材料的电阻系数不依赖于温度情形,证明了描述磁场强度的线性抛物方程组初边值问题解的存在性和唯一性,并研究了解的正则性.3.关于感应加热模型,对物理参数受温度影响和不受温度影响两种情形的最优控制问题进行研究:（1）在电阻系数不随温度变化的情况下,受控系统可描述为线性Maxwell方程组与强非线性热传导方程组成的弱耦合系统.应用2中的结果,利用Schauder不动点定理和相关能量估计证明了强非线性热传导方程初边值问题解的存在唯一性.通过证明控制–状态（control-to-state）算子弱连续性、连续依赖性及Fr′echet可微性,证明了最优控制问题解的存在性,推导出相应的一阶必要最优性条件.（2）在电阻系数依赖于温度变化的情况下,受控系统可描述为Maxwell方程组与强非线性热传导方程组成的强耦合系统.根据弱耦合受控系统解的存在唯一性结果,利用Schauder不动点定理证明了强耦合系统解的存在性,并利用强耦合系统解的正则性及相关的能量估计证明了解的唯一性.在类似的框架下,通过证明控制–状态（control-to-state）算子弱连续性、连续依赖性及Fr′echet可微性,证明了最优控制问题解的存在性,导出了强耦合系统最优边界电场控制的一阶必要最优性条件.4.研究了感应加热金属熔化过程中相场模型的最优控制问题.对弱耦合系统,在证明了受控系统解的存在唯一性的基础上;证明了最优控制问题解的存在性;利用Dubovitskii-Milyutin泛函分析法推导相应的一阶必要最优性条件.对强耦合系统,证明了受控系统解的存在性,通过解的有界性证明了最优控制问题解的存在性.在本文最后,对论文开展的研究做了总结并对下一步的工作进行了展望.