【摘 要】
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函数逼近论是函数论的一个重要组成部分,涉及的基本问题是函数的近似表示问题.应用神经网络进行函数逼近,为函数逼近论的发展提供了一条新的思路.神经网络逼近的实质就是通过非线性参数展开来表示一元或多元函数.本文一方面针对高维散乱数据,将插值作为主要手段来进行研究,提出了新模型和方法.另一方面,本文讨论了具有插值性质的单隐层前馈神经网络在Lp空间中的逼近误差,得到一些新的结果.除此之外,本文还研究了一类多
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函数逼近论是函数论的一个重要组成部分,涉及的基本问题是函数的近似表示问题.应用神经网络进行函数逼近,为函数逼近论的发展提供了一条新的思路.神经网络逼近的实质就是通过非线性参数展开来表示一元或多元函数.本文一方面针对高维散乱数据,将插值作为主要手段来进行研究,提出了新模型和方法.另一方面,本文讨论了具有插值性质的单隐层前馈神经网络在Lp空间中的逼近误差,得到一些新的结果.除此之外,本文还研究了一类多元算子在不同空间中的收敛性和逼近阶,并且构造了一类深度网络.具体内容如下:第二章构造了一类基于B样条函数的多元神经网络插值算子.以函数的光滑模作为逼近度量,借助散乱数据网格范数,估计了该类神经网络算子对有界域上的多元连续函数的逼近误差.最后,给出了具体的数值仿真算例进一步验证理论结果.第三章用构造性的方法研究了神经网络算子的插值与逼近性质.利用两类Sigmoid函数分别构造出了具有固定权的三层前馈神经网络.以函数的光滑模为逼近度量,借助Steklov均值函数,估计了它们对Lebesgue可积函数的逼近误差.第四章构造了一类基于广义核的多元Kantorovich型最大乘积算子并研究了其收敛性.当该多元算子被用来逼近连续函数时,以离散矩和函数的光滑模为逼近度量,估计了该类算子对连续函数的逼近误差,建立了点态逼近定理.此外,本章还讨论了其对Lp可积函数的收敛性,并借助于K-函数估计了其逼近误差.第五章介绍了一类深度网络.首先通过探究,发现带有M（1≤M<+∞）个断点的连续分段线性函数与Re LU函数可以相互表示.然后,根据折线可以逼近连续函数原理,进而构造了一类深度网络.最后,证明了该深度网络能以任意精度逼近均方函数.
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