【摘 要】
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众所周知判断一个一般图是否具有Hamilton性是NP-完全问题,虽然无爪图是对一般图进行了条件限制的图,但是判断其Hamilton性仍是NP-完全问题.所以众多学者对一些特殊的无爪图进行了研究,并得出了很多关于特殊无爪图的Hamilton性的结果.本文建立在研究Matthews和（?）Sumner提出的著名猜想：“任意一个4-连通的无爪图是Hamilton图”的基础上,分别讨论了矩形连通无爪图,
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众所周知判断一个一般图是否具有Hamilton性是NP-完全问题,虽然无爪图是对一般图进行了条件限制的图,但是判断其Hamilton性仍是NP-完全问题.所以众多学者对一些特殊的无爪图进行了研究,并得出了很多关于特殊无爪图的Hamilton性的结果.本文建立在研究Matthews和（?）Sumner提出的著名猜想：“任意一个4-连通的无爪图是Hamilton图”的基础上,分别讨论了矩形连通无爪图,无（P6）2及hourglass子图的无爪图,半局部2-连通无爪图,几乎局部连通无爪图的Hamilton性,并给出了无爪图的扩展图中的不属于F1的2-连通半无爪图的周长范围.本论文的主要研究结果如下：（1） Li, Guo, Xiong等人提出猜想：“若G为一个连通的δ（G）≥3的矩形连通无爪图,且G中不含同构于H1或H2的子图H,其中H中度数为4的顶点不是局部连通点,则G是顶点泛圈图.”本文针对该猜想提出反例,通过将猜想条件中的6（G）的下界值调大至5,使得该猜想的结论成立.由于矩形连通图包含局部连通图,N2-局部连通图,三角形连通图,所以这个关于矩形连通无爪图的顶点泛圈性的结论扩展了上述特殊无爪图的顶点泛圈性的结果.（2）本文证明了任意一个4-连通的不含（P6）2及hourglass子图的无爪图为一个Hamilton连通图,这一结论更接近证明出Matthews和Sumner提出的著名猜想:“任意一个4-连通的无爪图是Hamilton图.”本文在半局部连通图的定义的基础上提出了半局部n-连通图的定义,易见半局部2-连通图包含局部2-连通图Kanetkar和Rao证明了一个连通的局部2-连通无爪图为一个泛连通图.本文给出了一个不是泛连通图的半局部2-连通无爪图的例子,并证明了任意一个连通的半局部2-连通无爪图为Hamilton连通图.在一定程度上也扩展了Kanetkar和Rao的上述结论Asratian提出任意一个连通的无爪图G为Hamilton连通图当且仅当G为3-连通图.本文将Asratian的结论加以推广证明了任意一个几乎局部连通无爪图G为Hamilton连通图当且仅当G为3-连通图.（3）半无爪图是无爪图的扩展图之一.Li证明了不属于F1的阶为n的2-连通无爪图具有长度至少为min{3δ+2,n}的圈.本文同样证明了不属于F1的阶为n的2-连通半无爪图具有长度至少为min{3δ+2,n}的圈.进一步证实了无爪图的扩展图中的半无爪图与无爪图在Hamilton性及周长等方面有着相似的性质.
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